高考数学模拟大题规范训练(9)含答案及解析

高三数学大题规范训练（9）15.已知函数，且在处的切线方程是．（1）求实数，的值；（2）求函数的单调区间和极值．16.甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．（1）求进行双打比赛的概率；（2）设随机变量为比赛场次，求分布列及数学期望．17.如图，在四棱锥中，平面平面，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．18.在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．（1）求点的轨迹方程；（2）若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；（3）在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．19.已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数．（1）若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；（2）已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由．

高三数学大题规范训练（9）15.已知函数，且在处的切线方程是．（1）求实数，的值；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1），（2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值【解答】【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.【小问1详解】因为，所以，又在处的切线方程为，所以，，解得，．【小问2详解】由（1）可得定义域为，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则在处取得极小值，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，因此极小值为，无极大值．16.甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．（1）求进行双打比赛的概率；（2）设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解答，【解答】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可求解；（2）的可能取值为3，4，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【小问1详解】设进行双打比赛为事件A，甲班前3场获胜2场为事件，乙班前3场获胜2场为事件，所以，所以，所以．所以进行双打比赛的概率为；小问2详解】的可能取值为3，4，，由（1）可知，，的分布列为：34，所以的数学期望为．17.如图，在四棱锥中，平面平面，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【小问1详解】由题意，则，因为，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为．18.在平面直角坐标系中，已知点，点（不位于轴左侧）到轴的距离为．（1）求点的轨迹方程；（2）若圆与点的轨迹有且仅有一个公共点，求的最大值；（3）在（2）的条件下，当取最大值，且时，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值．【答案】（1）（2）2（3）32【解答】【分析】（1）设，利用两点距离公式及点线距离计算即可；（2）联立圆与C方程计算即可；（3）设坐标，含参表示圆的切线方程，利用直线与圆的位置关系及同解方程得，利用三角形面积公式结合基本不等式计算最小值即可.【小问1详解】设，则，所以，两边平方可得，整理得，所以点的轨迹方程C为；【小问2详解】依题意，联立圆与，可得，解得或，由于仅有一个公共点，所以，解得，所以最大值为2；【小问3详解】不妨设，显然，则直线，直线，依题意直线PA与圆相切，所以，整理可得，同理可得，显然，所以a，b为关于一元二次方程的两根，所以，则，则面积为，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为32．【小结】思路小结：第三问设点坐标，利用斜截式表示圆的切线方程，根据直线与圆的位置关系得出同解方程，消元转化再结合基本不等式计算即可.19.已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数．（1）若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由；（2）已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由．【答案】（1），2024是3阶3维表示数，理由见解答（2）当时，不存在不全为0的使结论成立，当时，【解答】【分析】（1）利用给定递推关系求出，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可.（2）利用给定定义结合分类讨论思想求解即可.【小问1详解】由于，因此的奇数项与偶数项都是等差数列，且公差均为4，又因为，，因此是2为首项，2为公差的等差数列，即，当时，设，则，此时取即可（取法不唯一）；【小问2详解】由题意可知满足方程组从最后一行开始，分别用前一行的倍加到下一行，对后行的