人教版八年级下册数学-第19章-一次函数-综合(压轴题)示范

人教版八年级下册数学第19章一次函数综合（压轴题）示范1．如图，直线l1的解析式为y=12x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l（1）求直线的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．【解析】（1）设l2的解析式是y＝kx+b，根据题意得：4k+b（2）在y=12x+1中令y＝0，即y解方程组y=-x+4y=12x+1（3）存在，理由：设C（2，2）关于y轴的对称点C′（2，﹣2），连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点，△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小，设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则2m+n则直线的解析式是y=-73x+83【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．2、矩形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），BC＝2AB，直线经过点B，交AD边于点P1，此时直线l的函数表达式是y＝2x＋1．（1）求BC，AP1的长；（2）沿y轴负方向平移直线l，分别交AD，BC边于点P，E．①当四边形BEPP1是菱形时，求平移的距离；②设AP＝m，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3:5时，求m的值．解：（1）∵直线y＝2x＋1经过y轴上的B点，∴B（0，1），又∵A的坐标为（0，3）；∴AB=2;BC=2AB=4；P1（1，3）；AP1=1；①当四边形BEPP1是菱形时，BP1=BE=；∴E（，1）；设平移之后的直线解析式为：y＝2x＋b，将点E代入；b=1-2；与y轴的交点B’（0，1-2），∴沿y轴负方向平移距离为2；②∵AP=m；AP1=1；PP1=BE=m-1；而S梯形ABEP=S矩形ABCD或S梯形ABEP=S矩形ABCD；∴；m=2或3.3、如图，一次函数y1=54x+n与x轴交于点B，一次函数y2=-（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞12（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y＝0和x＝0，可得B、C点坐标；（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；（3）分情况讨论，注意是在y轴的右侧，有三个符合条件的点M，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M的坐标．【解析】（1）将D（1，-74）代入y即y=54x﹣3，当y＝0时，54x﹣3＝0．解得x=将（1，-74）代入y=-（2）如图1，S△BDP=12（t-125）×|当y＝0时，-34x﹣1＝0，解得x=-S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE=12（t+43）×7由△BDP和△CDP的面积相等，得：78（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，点M1在y轴的左侧，不符合题意，过M2作M2A⊥y轴于A，∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，∴∠ACM2＝∠OPC，∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，∴△POC≌△CAM2（AAS），∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，∴M2（1，﹣6.2）；②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，过M4作M4E⊥x轴于E，同理得△COP≌△PEM4，∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，∴M4（6.2，﹣5.2），同理得M3（4.2，5.2）；综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．【小结】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．4、如图，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，1）．（1）直接写出点A的坐标，点B的坐标．（2）求证△ABC是等腰直角三角形．（3）若直线AC交x轴于点M，点P（-5【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）作CD⊥x轴于点D，证明△CDB≌△BOA（SAS）即可解决问题．（3）求出点P的坐标，利用面积法求出BN的长即可解决问题．【解答】（1）对于直线y＝2x+2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0）．（2）证明：作CD⊥x轴于点D，由题意可得CD＝1，OD＝3，OB＝1，OA＝2，∴CD＝OB＝1，BD＝OA＝2，∵∠CDB＝∠AOB＝90˚，∴△CDB≌△BOA（SAS），∴BC＝BA，∠CBD＝∠BAO，∵∠ABO+∠BAO＝90˚，∴∠ABO+∠CBD＝90˚，即∠ABC＝90˚，∴△ABC是等腰直角三角形．（3）∵P（-52，k）在直线BC：y=-∵直线AC：y=1∵S△BCM=∴BN=103，∴ON＝BN+OB=103+【小结】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．【分析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k=-（2）证明△CDF≌△DEG（AAS），则CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，OG＝4+m，则E（4+m，m﹣3）；（3）过点O作直线l的对称点O′，连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，即可求解．【解析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k=-43把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y=联立y=x-7y=-11【小结】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．6．如图①，直线y＝x＋1交x轴于点A，交y轴于点C，OB＝30A，M在直线AC上，AC＝CM．（1）求直线BM的解析式；（2）如图①，点N在MB的延长线上，BN＝AC，连CN交x轴于点P，求点P的坐标；（3）如图②，连接OM，在直线BM上是否存在点K，使得∠MOK＝45°，若存在，求点K的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）利用A(-1,0)；C（0,1）；AC=AM;∴M（1,2）；B（3,0）；∴BM：y＝-x＋3．（2）过C作CS∥MN交x轴与S点，可证△PCS≌△PNB，可证P为BS的中点，可证OA=OS=1;则BS=2；则P（2,0）。（3）以M为直角顶点，OM为直角边作等腰直角三角形MOT，OT与BM交与K点；连BT，则可证△MAO≌△MBT；则BT=AO，证BT⊥x轴，则T点为(3,1);则OT的解析式：，联立与；求得K（）。7．已知直线AB分别交x轴，y轴于A（4，0），B两点，C（－4，a）为直线y＝－x与AB的公共点．（1）求点B的坐标；（2）已知动点M在直线y＝x＋6上，是否存在点M使得S△OMB＝S△OMA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）已知E（0，8），P是x轴正半轴上动点，Q是y轴正半轴上的动点，Q在点E上方，OP＝EQ，QH是∠OQP的角平分线交直线CO于H，求OE、PQ、OH之间的数量关系．解：（1）∵点C（-4,a）为直线y＝-x上一点；a=4；点C（-4,4）；设直线AB为y=kx+b；将A,C代入得：AB解析式为：；∴点B（0,2）。（2）设点M为（m，m+6）；∵点A（4,0），点B（0,2）；∴OA=4；OB=2,xM=m,yM=m+6;∵S△OMB＝S△OMA∴OA.yM=OA.xM；∴2（m+6）=m或2（m+6）=-m；m=-12或-4；∴存在点M（-12，-6）（-4,2）使得S△OMB＝S△OMA在y轴上截取QK=QP，∵QH平分∠OQP；∴△KQH≌△PQH；∴HK=HP；作HM⊥y轴与M；NH⊥y轴与N点，∵H为y＝-x上的一点，∴ON=OM，HN=HM；且OH=ON=OM，∴△HMK≌△HNP；∴KM=PN;OP+OK=OP+(OM-KM)=OP+OM-NP=OM+ON=OH.∵OP=EQ，∴PQ=KQ=OE+EQ+EQ+OK=OE+OP+OK=OE+OH,即PQ=OE+OH8.如图1，A、B分别在x，y轴上，OA＝a，OB＝b，且（a－2）2＋b2－4b＝－4．（1）求△ABO的面积；（2）直线y＝x＋交y轴于F，OD⊥AF，交AB于D，求点D的坐标；（3）如图2，EF在y轴上，BE＝OF，OM⊥AF交AB于点M，