2019届泰安专版中考数学第一部分基础知识过关第一章数与式第2讲代数式与整式讲义

第2讲代数式与整式泰安考情分析基础知识过关泰安考点聚焦总纲目录随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一代数式及其求值知识点二整式的有关概念知识点四因式分解知识点三整式的运算知识点一

代数式及其求值1.代数式:一般地,用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开

方)把①

数或表示数的字母

连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或字母也是代数式.2.代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中指明的运算计算出的结果叫做代数式的值.知识点二

整式的有关概念1.单项式:由②

数或字母的积

组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式,单项式中的③

数字因数

叫做这个单项式的系数,单项式中④

所有字母的指数的和

叫做这个单项式的次数.2.多项式:⑤

几个单项式的和

叫做多项式,多项式中的每个单项式叫做多项式的⑥

项

,不含字母的项叫做⑦

常数项

.在多项式中,次数最高项的次数叫做这个多项式的⑧

次数

.3.整式:⑨

单项式

和多项式统称为整式.温馨提示

1.单项式的系数包含前面的符号,当系数是1时,可省

略不写,当系数为-1时,只需要写性质符号“-”.2.当单项式的系数为带分数时,要把带分数写成假分数.3.π是无理数,不是字母,在确定单项式的系数时,不要错把π看作字母.知识点三

整式的运算1.整式的加减(1)同类项:所含⑩

字母相同

,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.(2)合并同类项:把一个多项式中的同类项合并成一项,叫做合并

同类项.合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,

字母和字母的指数

不变.温馨提示

(1)常数项是同类项.(2)整式的加减实质是合并同类项.(3)去括号与添括号:a+(b+c)= 

a+b+c

;a-(b+c)= 

a-b-c

;a+b–c=a+

(b-c)

;a–b+c

=a-

(b-c)

.温馨提示

(1)去括号时,括号前面是“+”的,直接去掉括号,括号内的项符号不变;括号前面是“-”的,去掉括号后,括号内的项都改变符号;(2)添括号时,括号前面是“+”的,括到括号里的各项的符号都不变;括号前面是“-”的,括到括号里面的各项都改变符号.2.整式的乘除(1)幂的运算am·an= 

am+n

(m、n都是正整数);am÷an= 

am-n

(a≠0,m、n都是正整数,且m>n);(am)n= 

amn

(m、n都是正整数);(ab)n= 

anbn

(n是正整数).(2)整式的乘法a.单项式乘单项式:n个单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分

别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连

同它的指数作为积的一个因式;b.单项式乘多项式:用符号表示为m(a+b+c)=am+bm+cm;c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.(3)乘法公式a.平方差公式:(a+b)(a-b)= 

a2-b2

;b.完全平方公式:(a±b)2= 

a2±2ab+b2

.温馨提示

1.平方差公式变形:(b+a)(a-b)=a2-b2;(a+b)(b-a)=b2-a2;(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.2.完全平方公式变形:(a-b)2=(b-a)2;(-a-b)2=(a+b)2;(a-b)2=(a+b)2-4ab.(4)整式的除法a.单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,

对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因

式;只在除式里含有的字母,则取其倒数,作为商的一个因式;b.多项式除以单项式:用符号表示为(am+bm+cm)÷m=a+b+c.知识点四

因式分解1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的 

积

的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解的方法(1)提公因式法:用式子表示ma+mb+mc=

m(a+b+c)

.公因式的确定:首先,取各项式系数的最大公约数;然后,取各项相

同的字母;最后,取各项相同字母的最低次数.(2)公式法:(平方差公式)a2-b2= 

(a+b)(a-b)

;(完全平方公式)a2±2ab+b2= 

(a±b)2

.温馨提示

能用平方差公式进行因式分解的多项式中的两项都

能写成平方的形式,且符号相反;能用完全平方公式进行因式分解

的多项式应符合a2±2ab+b2的形式,该多项式有两项能写成平方的

形式且符号相同,另外一项是其他两个平方项底数乘积的2倍或-2倍.泰安考点聚焦考点一求代数的值考点二幂的运算考点三整式的混合运算考点四因式分解考点一

求代数式的值中考解题指导求代数式的值,一般有两种形式:一是直接代入求

值;二是整体代入求值.整体代入求值时,往往需要将代数式进行

变形.例1

(2017新泰模拟)已知x-2y=3,那么代数式3-2x+4y的值是 (A)A.-3

B.0

C.6

D.9解析3-2x+4y=3-2(x-2y),把x-2y=3代入得3-2×3=-3.变式1-1若2m-n2=4,则代数式10+4m-2n2的值为

18

.解析10+4m-2n2=10+2(2m-n2),把2m-n2=4代入得10+2×4=18.变式1-2已知代数式3x2-4x+6的值为9,则x2- x+6的值为

7

.解析由3x2-4x+6=9,得3x2-4x=3,所以x2- x=1,所以x2- x+6=7.变式1-3

(2017江苏徐州)已知a+b=10,a-b=8,则a2-b2=

80

.解析因为a2-b2=(a+b)(a-b),且a+b=10,a-b=8,所以a2-b2=80.方法技巧

运用整体代入法求代数式的值时,可把已知条件直

接代入化简并求值,也可把已知条件适当变形后整体代入求值.考点二

幂的运算中考解题指导进行幂的运算时,牢记幂的运算性质,尤其是同底

数幂相乘和幂的乘方时,不要忽略符号及数字因数.例2

(2016泰安)下列计算正确的是 (D)A.(a2)3=a5

B.(-2a)2=-4a2C.m3m2=m6

D.a6÷a2=a4

解析

A.(a2)3=a6,错误;B.(-2a)2=4a2,错误;C.m3m2=m5,错误;D.a6÷a2=a4,正确.故选D.变式2-1

(2018枣庄)下列计算正确的是 (D)A.a5+a5=a10

B.a3÷ =a2C.a·2a2=2a4

D.(-a2)3=-a6

解析

a5+a5=2a5,A错误;a3÷ = =a4,B错误;a·2a2=2a3,C错误;(-a2)3=-a6,D正确.故选D.变式2-2若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为

.解析由9y=7,可得32y=7,又3x=4,所以3x-2y=3x÷32y= .易错警示

1.同底数幂的乘法易与合并同类项混淆,也易与幂

的乘方混淆.2.同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算.考点三

整式的混合运算中考解题指导

整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时

注意两点:一是括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的

每一项.例3计算:3a3·a2-2a7÷a2=

a5

.解析原式=3a5-2a5=a5.变式3-1先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中a=-1,b= .解析原式=a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2,当a=-1,b= 时,原式=2+2=4.变式3-2设y=kx

,且k≠0,若代数式(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结果为2x2,求k的值.解析∵(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)=2x2-5xy-3y2+xy+5y2=2x2-4xy+2y2=2(x-y)2=2x2,∴x-y=±x,则x-kx=±x,解得k=0(不符合题意,舍去)或k=2.方法技巧

1.在进行整式的运算时,一般先根据整式的混合运

算的顺序进行运算(能用公式的要运用公式),实数的混合运算要

综合运用绝对值、算术平方根、立方根、三角函数、零指数幂

和负整数指数幂等知识.2.实数的混合运算常运用运算律和乘法公式.考点四

因式分解中考解题指导因式分解的一般步骤:(1)如果多项式的各项有公

因式,那么先提公因式;(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用

公式法、十字相乘法来分解;(3)必须进行到每一个因式都不能再

分解.用一段话来概括:先看有无公因式,再看能否套公式,十字相

乘试一试,分解彻底才合适.例4

(2018菏泽)若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b-2a2b2-ab3的值为

-48

.解析

a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2=ab[(a+b)2-4ab].∵a+b=2,ab=-3,∴原式=-3×(4+12)=-48.变式4-1分解因式:9x3-18x2+9x=

9x(x-1)2

.解析9x3-18x2+9x=9x(x2-2x+1)=9x(x-1)2.变式4-2

(2017肥城模拟)分解因式:x3-4x2+4x=

x(x-2)2

.解析

x3-4x2+4x=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.一、选择题1.(2018德州)下列运算正确的是 (C)A.a3·a2=a6

B.(-a2)3=a6C.a7÷a5=a2

D.-2mn-mn=-mn解析

A.a3·a2=a5,错误;B.(-a2)3=-a6,错误;C.a7÷a5=a2,正确;D.-2mn–mn=-3mn,错误.故选C.随堂巩固训练2.(2017菏泽)下列运算正确的是 (C)A.3x2+4x2=7x4

B.2x3·3x3=6x3C.a÷a-2=a3

D. =- a6b3

解析

A.原式=7x2,故A错误;B.原式=6x6,故B错误;C.原式=a3,故C正确;D.原式=-

a6b3,故D错误,故选C.3.(2017内蒙古通辽)下列说法正确的是 (D)A.- x2的系数是 

B. πa2的系数为 C.3ab2的系数是3a

D. xy2的系数是 解析选项A中的系数是- ,选项B中的系数是 π,选项C中的系数是3,故选D.4.(2017泰安新泰一模)把多项式x2+ax+b分解因式得(x+1)(x-3),则

 (B)A.a=2,b=3

B.a=-2,b