2019届北京专用高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算讲义文

第一节平面向量的概念及其线性运算总纲目录教材研读1.向量的有关概念考点突破2.向量的线性运算3.共线向量定理考点二向量的线性运算考点一向量的有关概念考点三共线向量定理的应用1.向量的有关概念教材研读名称定义备注向量既有①大小

又有②方向

的量;向量的

大小叫做向量的③长度

(或④模

)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为⑤0

的向量;其方向是任意的记作⑥0

单位向量长度等于⑦1个单位

的向量非零向量a的单位向量为±

平行向量方向⑧

相同或相反

的非零向量0与任一向量⑩平行

或共线共线向量⑨

方向相同或相反

的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 相等

且方向 相同

的向量两向量不能比较大小相反向量长度 

相等

且方向 相反

的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算的常用结论(1)在△ABC中,D是BC的中点,则

=

(

+

);(2)O为△ABC的重心的充要条件是

+

+

=0;(3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则

+

=2

.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得

b=λa

.

1.下列说法正确的是

()A.

∥

就是

所在的直线平行于

所在的直线B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量答案

C

∥

包含

所在的直线与

所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零

向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以

是所在直线互相平行的向量,故D错.C2.(2016北京西城期末)设M是△ABC所在平面内一点,且

=

,则

=

()A.

-

B.

+

C.

(

-

)

D.

(

+

)答案

D∵M是△ABC所在平面内一点,且

=

,∴M为BC的中点,∴

=

(

+

).故选D.D3.(2017北京海淀二模)已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,则x=

()A.-3

B.-

C.

D.

答案

B∵a=(x,1),b=(3,-2),且a∥b,∴-2x-3=0,∴x=-

.B4.(2017北京海淀期中)在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若

=λ

+μ

,则λ-μ=

.答案

解析在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,因为

=

+

=

+

=

-

+

=

+

+

=

+

=λ

+μ

,所以λ=

,μ=1,所以λ-μ=

,故答案为

.考点一向量的有关概念考点突破典例1给出下列命题:(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则

=

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b;(5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c.其中假命题的个数为

()A.2

B.3

C.4

D.5B答案

B解析(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由|

a|=|b|推不出a=b.(2)正确.若

=

,则|

|=|

|且

∥

.又∵A、B、C、D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB

DC且

与

方向相同,因此

=

.(3)正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同.∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同.∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c.(4)不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故

不是a=b的充要条件.(5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.易错警示(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它

与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与

的关系:

是a方向上的单位向量.1-1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使

=

成立的充分条件是

()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案

C因为向量

的方向与向量a相同,向量

的方向与向量b相同,且

=

,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a=2b时,

=

=

,故a=2b是

=

成立的充分条件.C1-2给出下列命题:①两个具有公共终点的向量一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③若λa=0(λ为实数),则λ必为零.④若λa=μb(λ,μ为实数),则a与b共线.其中错误命题的个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C①错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.②

正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向

量的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,无论λ为何值,均有λa

=0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.C1-3如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与

相等的向量有

.

答案

,

,

,

,

典例2(1)(2017北京西城一模)在△ABC中,点D满足

=3

,则

(

)A.

=

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

(2)(2016北京海淀期末)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若

=λ

+μ

,则λ+μ的值为

()考点二向量的线性运算A.

B.-

C.1

D.-1答案(1)C(2)A解析(1)∵点D满足

=3

,∴

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

.故选C.(2)因为E为DC的中点,所以

=

+

=

+

+

=

+(

+

)=

+

,故

=-

+

,所以λ=-

,μ=1,所以λ+μ的值为

.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等

向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示

出来求解.方法指导2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形

式.(3)比较、观察可知所求.2-1在△ABC中,

=c,

=b.若点D满足

=2

,则

=

()A.

b+

cB.

c-

bC.

b-

cD.

b+

c答案

D由题意可知

=

-

=b-c,∵

=2

,∴

=

=

(b-c),则

=

+

=

+

=c+

(b-c)=

b+

c.故选D.D2-2

(2017北京海淀一模)在△ABC中,点D满足

=2

-

,则(

)A.点D不在直线BC上

B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上

D.点D在CB的延长线上答案

D

=2

-

=

+

-

=

+

.如图,以B为始点,作

=

,连接AD',则

+

=

+

=

=

.∴D'和D重合,∴点D在CB的延长线上,故选D.

D典例3设两个非零向量a与b不共线.(1)若

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.考点三共线向量定理的应用解析(1)证明:∵

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),∴

=

+

=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5

,∴

,

共线,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.1.共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的

值.(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数

法应用非常广泛.方法技巧2.证明三点共线的方法若

=λ

,则A、B、C三点共线.变式3-1若将本例(1)中“

=2a+8b”改为“

=a+mb”,则m为何值时,A、B、D三点共线?解析

+

=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即

=4a+(m-3)b.若A、B、D三点共线,则存在实数λ,使

=λ

,即4a+(m-3)b=λ(a+b),∴

解得m=7.故当m=7时,A、B、D三点共线.变式3-2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解析因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以

所以k=±1.又λ<0,k=