2019-2020学年九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程讲义新人教版_第1页
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文档简介

二次函数与一元二次方程在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题.如:被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行;抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等.利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义.本节课,我将和同学们共同研究解决这些问题的方法,探寻其中的奥秘.新课引入问题如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t–5t2

考虑下列问题:(1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?(4)球从飞出到落地要用多少时间?15=20t–5t2h=0ht20=20t–5t220.5=20t–5t20=20t–5t2新课讲解解:(1)解方程15=20t-5t2,即:

t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.(2)解方程20=20t-5t2,

即:

t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.∴当球飞行2s时,它的高度为20m.(3)解方程20.5=20t-5t2,

即:

t2-4t+4.1=0,

因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解,∴球的飞行高度达不到20.5m.(4)解方程0=20t-5t2,

即:

t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.∴球的飞行0s和4s时,它的高度为0m.即飞出到落地用了4s.新课讲解你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗?那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢?那么为什么两个时间球的高度为零呢?从上面我们看出,对于二次函数h=20t–5t2中,已知h的值,求时间t?其实就是把函数值h换成常数,求一元二次方程的解.新课讲解那么从上面,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?一般地,当y取定值时,二次函数为一元二次方程.如:y=5时,则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.为一个常数(定值)新课讲解思考二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根?

验证一下一元二次方程x2–x+1

=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?2个,1个,0个新课讲解两个根,两个相等的根,无实数根b2–4ac

>0b2–4ac

=0b2–4ac

<0Oxy思考已知二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数,则一元二次方程ax2+bx+c=0中b2-4ac的情况如何?.新课讲解新课讲解一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况与b2-4ac的情况:

(1)有两个交点

(2)有一个交点

(3)没有交点b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0思考:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac.≥0例1不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–2xDy=-2(x+1)2-3例2如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=__,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有

个交点.例3已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=__.D1116例4抛物线y=x2-3x+2与y轴交于点____,与x轴交于点____.(0,2)(1,0)(2,0)例题分析例5如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,x2=___例6已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围()-3.3BK≠0b2-4ac≥0例题分析123xyO例7利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根.(结果保留小数点后一位)(-0.7,0)(2.7,0)所以方程的实数根为解:作的图象(如图),它与x轴的公共点的横坐标大约是.我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.仔细阅读课本P46内容.例题分析123xyOx=2时,y<0x=3时,y>0∴根在2到3之间例题分析123xyO2.5已知x=3,y>0x=2.5时,y<0∴根在2.5到3之间例题分析123xO123y2.5已知x=2.5时,y<0x=2.75时,y>0∴根在2.5到2.75之间2.75例题分析重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在2.625,2.75之间,在2.6875,2.75之间……可以得到:根所在的范围越来越小,根所在的范围的两端的值越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值,例如,当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时,由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.归纳例题分析CA课堂练习1.抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个2.抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点,则其顶点坐标为3.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限——.

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