2019届江苏专用高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆讲义文苏教版

§9.5椭圆基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做

，两个定点F1，F2叫做椭圆的

，两焦点间的距离叫做椭圆的

.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若

，则集合P为椭圆；(2)若

，则集合P为线段；(3)若

，则集合P为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a>ca＝ca<c2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程(a>b>0)(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为

；短轴B1B2的长为___焦距F1F2＝___离心率e＝

∈(0,1)a，b，c的关系__________2a2b2ca2＝b2＋c2知识拓展点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔

＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔>1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.(

)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).(

)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(

)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(

)(5)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.(

)(6)＝1(a>b>0)与

＝1(a>b>0)的焦距相等.(

)×√×√×√考点自测1.(教材改编)椭圆

＝1的焦距为4，则m＝_____.答案解析4或8由题意知解得m＝4或m＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为__________.答案解析设点P(x，y)，由题意知

，化简得3x2＋4y2＝12，所以动点P的轨迹C的方程为

＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的

，则该椭圆的离心率为___.答案解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝·2b＝

b.在Rt△FOB中，OF·OB＝BF·OD，即cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝.4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于

，则C的方程是_________.由题意知c＝1，e＝所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为

＝1.答案解析5.(教材改编)已知点P是椭圆

＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________________.答案解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入

＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝

，所以P点坐标为

或题型分类深度剖析题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1

(2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是______.答案解析椭圆由条件知PM＝PF，∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.几何画板展示命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2

(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_____________________.答案解析＋y2＝1或

＋

＝1若焦点在x轴上，设方程为

＝1(a>b>0).∵椭圆过P(3,0)，∴

＝1，即a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1，∴椭圆方程为

＋y2＝1.若焦点在y轴上，设方程为

＝1(a>b>0).∵椭圆过点P(3,0)，∴

＝1，即b＝3.又2a＝3×2b，∴a＝9，∴椭圆方程为

＝1.∴所求椭圆的方程为

＋y2＝1或

＝1.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2()，则椭圆的方程为__________.答案解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.①②两式联立，解得∴所求椭圆方程为

＝1.命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题例3

已知F1，F2是椭圆C：

＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且

.若△PF1F2的面积为9，则b＝___.答案解析3设PF1＝r1，PF2＝r2，因为2r1r2＝(r1＋r2)2－(

)＝4a2－4c2＝4b2，又因为所以b＝3.几何画板展示引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程.解答由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆方程为

＝1.2.在例3中，若将条件“”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“

”，结果如何？解答PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以

－2PF1·PF2cos60°＝

，即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2，所以PF1·PF2＝b2，所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，所以PF1·PF2＝

，又因为所以b＝3.(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF1·PF2；通过整体代入可求其面积等.思维升华跟踪训练1

(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________.答案解析设圆M的半径为r，则MC1＋MC2＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝C1C2，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为

＝1.几何画板展示(2)(2016·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆

＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使

＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是____.1∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，答案解析题型二椭圆的几何性质例4

(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么

的最小值是____.2答案解析设P(x0，y0)，则

＝(－1－x0，－y0)，

＝(1－x0，－y0)，∴

＝(－2x0，－2y0)，∵点P在椭圆上，∴0≤

≤1，∴当

＝1时，

取最小值2.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C：

＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_____.答案解析设M(－c，m)，则

，OE的中点为D，则

，又B，D，M三点共线，所以

，a＝3c，e＝.(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.思维升华跟踪训练2

(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝

与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是_____.答案解析联立方程组解得B，C两点坐标为又F(c,0)，则又由∠BFC＝90°，可得

＝0，代入坐标可得c2－

＝0，

①又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为

，则椭圆离心率为e＝.题型三直线与椭圆例5

(2016·天津)设椭圆

的右焦点为F，右顶点为A.已知

，其中O为原点，e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；解答可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为

＝1.(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率.解答设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2).设B(xB，yB)，由方程组

消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝由题意，得xB＝

，从而yB＝由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，设M(xM，yM)，由方程组

消去y，因此直线MH的方程为y＝解得xM＝在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔MA＝MO，所以直线l的斜率为(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(k为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.思维升华跟踪训练3如图，已知椭圆O：

＋y2＝1的右焦点为F，B，C分别为椭圆O的上，下顶点，P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆O于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；解答由题意知B(0,1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆O的右焦点F时，直线PM的方程为

＝1，即y＝

－1.联立解得

或(舍去)，即点M的坐标为().连结BF，则直线BF的方程为

＝1，即x＋

＝0.又BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为故△FBM的面积为S△MBF＝(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；解答方法一设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝则直线PM的方程为y＝－

x－1.联立

消去y，得

＝0，解得点M的坐标为()，所以k1·k2＝

为定值.方法二

设点M的坐标为(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝

x－1，令y＝－2，得点P的坐标为(－

，－2)，②求

的取值范围.解答方法一由①知，

＝(－m,3)，令m2＋4＝t>4，因为y＝t－

＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，故

的取值范围为(9，＋∞).因为y＝－t＋

＋7在t∈(0,2)上单调递减，令t＝y0＋1∈(0,2)，故

的取值范围为(9，＋∞).考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.高考中求椭圆的离心率问题高频小考点8典例1

(2015·福建改编)已知椭圆E：

＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于

，则椭圆E的离心率的取值范围是________.答案解析左焦点F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则

，∴1≤b＜2.典例2

(14分)(2016·浙江)如图，设椭圆

＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.规范解答解

(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由

得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－

，[6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足AP＝AQ.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2. [8分]由k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋

＋a2(2－a2)

＝0，因此

＝1＋a2(a2－2)，

①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞. [12分]因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，所以离心率的取值范围是(0，]. [14分]课时作业1.(2016·盐城模拟)已知椭圆C：

＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为

，则椭圆C的方程为_________.∵△AF1B的周长＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a，12345678910111213答案解析2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆

＝1(a>b>0)，点A、B1、B2、F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x＝

上，则椭圆的离心率为____.答案解析由题意知直线AB2：

＝1，直线B1F：

＝1，联立解得x＝

，若交点在椭圆的右准线上，则

，即2c2＋ac－a2＝0，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝.123456789101112133.若对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆

＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是_______________.联立直线与椭圆的方程，消去y得(2k2＋m)x2＋4kx＋2－2m＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k2－4(2k2＋m)(2－2m)≥0，即2k2＋m－1≥0恒成立，因为k∈R，所以k2≥0，则m－1≥0，所以m≥1，又m≠2，所以实数m的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞).答案解析12345678910111213[1,2)∪(2，＋∞)4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：

＋x2＝1，过点P()的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为____________.答案解析9x＋y－5＝012345678910111213设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆

＋x2＝1上，即

＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P()平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式，得

＋x1－x2＝0，得

＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－

＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0.123456789101112135.(2016·宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆

＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使PF1·PF2取得最大值的点P为______________.答案解析(0,1)或(0，－1)由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4，∴PF1·PF2≤()2＝4，当且仅当PF1＝PF2＝2，即P(0，－1)或(0,1)时，PF1·PF2取得最大值.12345678910111213*6.已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_____.答案解析12345678910111213由题意知，椭圆C的离心率e＝

，求e的最大值，即求a的最小值.由于A，B两点是椭圆的焦点，所以PA＋PB＝2a，即在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小，设点A(－2,0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为Q(x0，y0)，即Q(－3,1)，则PA＋PB≥QB123456789101112137.若椭圆

＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为____________.答案解析设切点坐标为(m，n)，则

＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆方程为

＝1.123456789101112138.已知P为椭圆

＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为____.答案解析7由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.123456789101112139.(2017·连云港质检)椭圆

＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_____________.设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，∵∠F1PF2为钝角，∴<0，即x2－3＋y2<0，

①答案解析1234567891011121310.已知椭圆

＝1(a>b>0)的离心率等于

，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，

＝____.答案解析123456789101112133在△ABC中，由正弦定理得因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C：

＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且AB＝

BF.(1)求椭圆C的离心率；解答由已知AB＝

BF，即

，4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，12345678910111213(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.解答12345678910111213设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：

＝1.由

消去y，Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.1234