2025高考数学二轮复习-专题4 立体几何-素养提升微专题(五) 球的切接问题【课件】

素养提升微专题(五)球的切接问题2025规律方法球的切、接问题的求解方法关于球的切接问题的处理关键是确定球心的位置,常见的求解方法有如下几种(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题求解,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.(2)补形法求外接球半径①如图1,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内.②如图2,若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体.③如图3,正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长

.④如图4,若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内.(3)等体积法求内切球半径:棱锥是任意棱锥,求其的内切球半径.若棱锥的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为

.考查角度命题角度1

几何体的外接球问题[例1-1](2024·云南德宏高三期末)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AC=BC=,PC=AB=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(

)A.20π

B.12π

C.5π

D.4πC解析

如图,将三棱锥P-ABC转化为长方体,可知三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球,B方法总结求解多面体外接球问题的两种思路(1)补形法:对于同一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体,侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱均相等的四面体模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;(2)确定球心法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助某特殊底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.命题角度2

几何体的内切球问题[例2-1]已知圆锥的底面半径为2,高为

,则该圆锥内切球的体积为

.[例2-2](2023·广东珠海模拟)半正多面体亦称“阿基米德体”,“阿基米德多面体”是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成,其可由正四面体切割而成,如图所示.已知MN=1,若在该半正多面体内放一个球,则该球表面积的最大值为

.解析

由题意知,当球的表面积最大时,该球的球心即为半正多面体所在正四面体的内切球的球心,记球心为O',正四面体为P-ABC,取BC中点D,连接AD,PD,连接PO'并延长,交AD于E,如图.名师点析求几何体内切球的半径的常用方法(1)将空间问题转化为平面问题,通过构造直角三角形,利用平面知识求出内切球的半径.(2)利用体积分割求出内切球的半径.对点演练B解析

如图,设外接球球心为O,等边三角形ABC的外心为O1,等边三角形A1B1C1的外心为O2,O1,O,O2三点共线,则O1O2是正三棱台ABC-A1B1C1的高,设台体的高为h,设外接球的半径为R,过点B作BD⊥B1O2,垂足为D,根据正棱台的性质可知BD∥O1O2,BD=O1O2,所以BD⊥平面A1B1C1,B1O2⊂平面A1B1C1,所以BD⊥B1O2,2.(2024·广东深圳统考一模)已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积为(

)C解析

该几何体的轴截面如图所示,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,所以OM⊥AB,所以OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1与△AOM全等,所以AM=r1,同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1,过A作AG⊥BO2,垂足为G,则BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,3.(2024·广东佛山模拟)已知正三棱柱的所有棱长均相等,其外接球与棱切球(该球与其所有棱都相切)的表面积分别为S1,S2,则

=

.

4.中国古建筑闻名于世,源远流长.如图1,五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式,该屋顶的结构示意图如图2所示.在结构示意图中,已知四边形ABCD为矩形,EF∥AB,AB=2EF=2,△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形,若点A,B,C,D,E,F都在球O的球面上,则球O的表面积为(

)D图1图2解析

如图,连接AC,BD,交于点O1,因为四边形ABCD为矩形,所以O1为矩形ABCD外接圆的圆心.连接OO1,则OO1⊥平面ABCD,分别取EF,AD,BC的中点M,P,Q,根据几何体ABCDEF的对称