2019届江苏专用高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角弧度制及任意角的三角函数讲义文苏教版

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内

绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的

；②分类：角按旋转方向分为

、_____和

.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝

.(3)象限角：使角的顶点与坐标

重合，角的始边与

重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.知识梳理一条射线图形正角负角零角{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}原点x轴的正半轴2.弧度制(1)定义：把长度等于

长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个

，负角的弧度数是一个

，零角的弧度数是

.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝

rad，1°＝

rad，1rad＝

.(3)扇形的弧长公式：l＝

，扇形的面积公式：S＝

＝

.半径正数负数0π|α|·r3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝

，cos

α＝

，tanα＝

(x≠0).yx三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα___＋＋－－cosα___＋－－＋tanα__________________＋－＋－三个三角函数的初步性质如下表：RR4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段

为正弦线；有向线段

为余弦线；有向线段

为正切线MPOMAT几何画板展示知识拓展1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(

)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(

)(3)不相等的角终边一定不相同.(

)(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.(

)(5)若α∈(0，)，则tanα>α>sinα.(

)(6)若α为第一象限角，则sinα＋cos

α>1.(

)×√×√√√考点自测1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是______.答案解析240°与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为

弧度，半径为6的扇形的面积为____.答案解析6π答案解析答案解析5.函数y＝

的定义域为_______________________.答案解析∵2cosx－1≥0，由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).几何画板展示题型分类深度剖析题型一角及其表示例1

(1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在第________象限.答案解析一或三当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角.所以α为第一或第三象限角.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为______________________.答案解析(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.思维升华跟踪训练1(1)终边在直线y＝

x上的角的集合是___________________.答案解析3答案解析题型二弧度制例2

(1)(2016·南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是______.答案解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.解答②由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，当r＝5时，S的最大值为25.即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.思维升华跟踪训练2(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______.答案解析将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为_____.答案解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，作OM⊥AB垂足为M，题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用答案解析(2)点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动

弧长到达Q点，则Q点的坐标为__________.答案解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足命题点2三角函数线例4函数y＝lg(2sinx－1)＋

的定义域为_________________________.答案解析(k∈Z)如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.思维升华跟踪训练3(1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos

α≤0，sinα>0.则实数a的取值范围是_________.答案解析(－2，3]∵cos

α≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.(2)满足cos

α≤－

的角α的集合为_______________________________.答案解析则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，

的坐标为___________________.(2)(2016·盐城模拟)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为___________________.思想方法指导答案解析

数形结合思想在三角函数中的应用思想与方法系列6在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集.(2－sin2，1－cos2)几何画板展示几何画板展示(1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧

＝2，即圆心角∠PCA＝2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，(2)∵3－4sin2x＞0，利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，课时作业12345678910111213③答案解析2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________.①sinα＋cos

α＜0 ②tanα－sinα＜0③cos

α－tanα＜0 ④tanαsinα＜0答案解析②α是第三象限角，sinα＜0，cos

α＜0，tanα＞0，则可排除①、③、④.12345678910111213答案解析123456789101112134.已知点P(tanα，cos

α)在第三象限，则角α的终边在第______象限.答案解析二∵点P(tanα，cos

α)在第三象限，∴tanα＜0，cos

α＜0，∴角α的终边在第二象限.123456789101112135.已知点P(sinα－cos

α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是

.答案解析③∵P(sinα－cos

α，2)在第二象限，∴sinα<cos

α，12345678910111213－1角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cos

θ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.答案解析123456789101112137.在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________.答案解析依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，12345678910111213答案解析12345678910111213二答案解析1234567891011121310.在(0，2π)内，使sinx>cos

x成立的x的取值范围为________.答案解析如图所示，找出在(0，2π)内，12345678910111213s