高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理2课件新人教版A

1.1.1正弦定理(二)第一章§1.1正弦定理和余弦定理1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．

学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一正弦定理的常见变形1.sinA∶sin

B∶sin

C＝

；3.a＝

，b＝

，c＝

；4.sinA＝____，sinB＝_____，sinC＝____.a∶b∶c2RsinA2RsinB2RsinC2R思考1

知识点二判断三角形解的个数在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数.答案故对应的钝角B有90°<B<120°，也满足A＋B<180°，故三角形有两解.已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一.例如在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理

在由sinB求B时，如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a<b，则有A<B，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个.梳理如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.思考2

答案已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角.其中只有类型(3)解的个数不确定.梳理知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcos

B＝2RsinBcos

A，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcos

B－cos

Asin

B＝0.思考1

答案在△ABC中，已知acos

B＝bcos

A.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.思考2

什么时候适合用正弦定理进行边角互化？答案题型探究例1

在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形.(角度精确到1°，边长精确到1cm)类型一判断三角形解的个数解答因为0°<B<180°，且b>a，B>A，(1)当B≈64°时，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，

(2)当B≈116°时，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，综上，B≈64°，C≈76°，c≈30cm或B≈116°，C≈24°，c≈13cm.引申探究例1中b＝28cm，A＝40°不变，当边a在什么范围内取值时，△ABC有两解(范围中保留sin40°)?解答如图，∠A＝40°，CD⊥AD.AC＝28cm，以C为圆心，a为半径画圆弧，当CD＜a＜AC，即bsin

A＜a＜b，28sin40°＜a＜28时，△ABC有两解(△AB1C，△AB2C均满足题设).已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.反思与感悟跟踪训练1

已知一三角形中a＝

b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.解答

又因为bsin

A＝6sin30°＝3，bsin

A＜a＜b，所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得

因为b>a，B>A，B∈(0°，180°)，所以B＝60°或120°.类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2

在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsinA，求cos

A＋sinC的取值范围.解答∵a＝2bsinA，∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsin

A，由锐角△ABC知，反思与感悟解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素.(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题.跟踪训练2

在△ABC中，若C＝2B，求

的取值范围.解答因为A＋B＋C＝π，C＝2B，例3已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状.解答类型三正弦定理与三角变换的综合∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.∵a＋c＝2b.∴△ABC是等边三角形.反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.跟踪训练3

已知方程x2－(bcos

A)x＋acos

B＝0的两根之积等于两根之和，其中a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.解答设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得

∴bcos

A＝acos

B.由正弦定理，得sinBcos

A＝sinAcos

B，∴sinAcos

B－cos

Asin

B＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形.当堂训练1.在△ABC中，AC＝

BC＝2，B＝60°，则角C的值为A.45° B.30° C.75° D.90°答案解析√123∴A＝45°，∴C＝75°.1232.在△ABC中，若

则△ABC是A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形答案解析√∴tanA＝tanB＝tanC，又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故三角形为等边三角形.1233.在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求

的值.

解答规律与方法1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角