第6章数理统计的基本概念习题及答案

第六章数理统计的基本概念一.填空题1.若是取自正态总体的样本，则服从分布.2.样本来自总体则；___。其中为样本均值，。3.设是来自正态总体的简单随机样本，，则当时，时，统计量服从分布，其自由度为2.4.设随机变量与相互独立,且都服从正态分布,而和是分别来自总体和的简单随机样本,则统计量.5.设相互独立,与分别为X与Y的一个简单随机样本,则服从的分布为6.设随机变量,随机变量,且随机变量X与Y相互独立,令,则F(1,n)分布.解：由,得.因为随机变量,所以再由随机变量X与Y相互独立,根据F分布的构造,得7.设是总体的样本,则统计量服从的分布为(需写出分布的自由度).解：由知,于是8.总体为总体X的一个样本,设服从F(1,1)分布(说明自由度)解：由,有,又,故因为与独立,所以9.判断下列命题的正确性：(在圆括号内填上“错”或“对”)(1)若总体的平均值与总体方差2都存在，则样本平均值是的一致估计。(对)(2)若则称为的渐近无偏估计量.(错)(3)设总体X的期望E(X)，方差D(X)均存在，是X的一个样本，则统计量是E(X)的无偏估计量。(对)(4)若且则以估计较以估计有效。(错)(5)设为的估计量，对任意>0，如果则称是的一致估计量。(对)（6）样本方差是总体中2的无偏估计量。是总体X中2的有偏估计。（对）10.设是取自总体的一个样本，则下面三个均值估计量都是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则最有效.二、选择题1、设总体服从正态分布，其中已知，未知，是取自总体的一个样本，则非统计量是(D).A、 B、C、 D、2、设是来自正态总体的简单随机样本，，，，则服从自由度为的t分布的随机变量是(B).A、B、C、D、3、设，为的样本，则(C).A、 B、C、 D、4、设是总体的样本，分别是样本的均值和样本标准差，则有(C)A、B、C、D、5..简单随机样本()来自某正态总体，为样本平均值，则下述结论不成立的是(C)。(A)与独立 (B)与独立(当)(C)与独立 (D)与独立(当)6.设，来自总体来自总体，且X与Y独立。则如下结论中错误的是(D)。(A)(B)(C)(D)7.设是取自总体的样本，则可以作为的无偏估计量是(A).A、 B、 C、 D、8.3、设是来自母体的容量为3的样本，，，，则下列说法正确的是(B).A、都是的无偏估计且有效性顺序为B、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为C、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为D、不全是的无偏估计，无法比三.计算题1、在总体中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在29到31之间取值的概率.解：因，故，即2、设某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)，抽取一容量为9的样本，其均方差，问是多少？解：因未知，不能用来解题，而，而由表查得3、设为总体的一个样本，求.解：4、设总体，从此总体中取一个容量为6的样本，设，试决定常数，使随机变量服从分布.解：，，即时，5、设随机变量服从分布，求的分布.解：因为，其中，，6.利用t分布性质计算分位数t0.975(50)的近似值。(已知x~N(0，1)，p(x<1.96)=0.975)解:当n足够大时，t分布近似N(0，1),当u~N(0，1)时，分位数u1-a近似t1-a(n)。而p{u³u0.975}=0.025时，u0.975=1.926»2，t0.975(50)»27.设Xn为来自有均值m和r阶中心矩mr的总体X的样本，试证明。又此式说明总体的r阶矩与样本r阶矩有什么关系？证：上述结果表明总体的r阶矩与样本的r阶矩相等,说明样本的r阶中心矩是总体X的r阶中心矩mr的无偏估计。8.设总体,为来自总体X的样本.令.试确定常数C,使CY服从分布,并指出其自由度.解：由,得又互相独立,故 且二者独立.从而有 得分布的自由度为2.9.设分别是来自正态的总体X与Y的样本,,求.解:方法1:由可得.方法2:.10.设是取自母体N(m，s2)，容量为n的两个相互独立的样本X1、X2、、Xn及Y1、Y2、、Yn的均值，试确