中考数学二轮培优训练第16讲 解直角三角形中的（叠合式）字母型（解析版）

第16讲解直角三角形中的（叠合式）字母型【应对方法与策略】【模型展示】【多题一解】一、单选题1．（2022·山东泰安·校考二模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（

）A．米 B．3米 C．米 D．米【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．【详解】解：在中，，（米，在中，，（米，米，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=,∴,由题可知，△DCE为直角三角形，在Rt△DEC中，即：,∴,故选：C【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．二、填空题3．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为45°；随后沿直线向前走了15米后到达处，在处测得处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留整数）【答案】21【分析】设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x的方程，解之可得答案．【详解】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，在Rt△AFG中，解得：∴故答案为：21【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）【答案】米【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．【详解】解：设米在中，，则在中，，则，即，解得即米故答案为米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．三、解答题5．（2023·浙江宁波·校考一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）【答案】生命所在点C的深度为1.7m．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，∴∠BCA=30°，∴AB=BC，∵AB=2m，∴BC=2m，∴m，答：生命所在点C的深度为1.7m．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．6．（2022·辽宁鞍山·统考二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD的总高度约为389m．【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解．【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，∠ABC=45°，∴BC=AC=x，∴CE=x+20，在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，即≈1.346，解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．7．（2021·安徽马鞍山·统考三模）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在处测得，两点的俯角分别为45°和30°（即，）．若无人机离地面的高度为120米，且点，，在同一水平直线上，求这条河的宽度．（结果精确到1米）．（参考数据：，）【答案】88米【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长．【详解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：这条河的宽度约为88米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．8．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】约为5.7m【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．【详解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，∴i＝1∶3＝tanM，∵BC//MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即树AB的高度约为5.7m．【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．9．（2020·辽宁鞍山·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】49cm【分析】过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果．【详解】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD是等腰直角三角形，∵AC=40cm，∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，∴CD=cm，∴在Rt△BCD中，BC=cm，∴支架BC的长为49cm．【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形．10．（2020·湖北随州·统考中考真题）如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．（1）求与之间的距离；（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）【答案】（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米．【分析】（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．（2）根据题意，在中，，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．【详解】（1）依题意可得，在中，，米，米，米.即之间的距离为30米．（2）在中，，米，（米），米，米．由．并精确到整数可得米．即天线的高度约为27米．【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．11．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，在中，的平分线交于点．求的长？【答案】6【分析】由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长．【详解】解：在中，是的平分线，又，在中，，．故答案为：．【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键．12．（2020·湖南张家界·中考真题）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为，继续飞行到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，）【答案】安全【分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．【详解】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴AD=．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴BD=．∵AD-BD=AB，∴-=9×6，∴x=162，∵162>150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．13．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东方向航行至D处，在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD(参考数据：，，，，，）【答案】20km【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．【详解】解：如图，过点作，垂足为在中，在中，在中，（km）因此，轮船航行的距离约为【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．（2020·河南·统考中考真题）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据：)；“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值【分析】（1）过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，设AD的长为xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形BMNC为矩形，∵AE⊥ME，∴四边形CNED为矩形，∴DE=CN=BM=，在Rt△ABD中，，解得：，即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．（2019·湖南郴州·统考中考真题）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求