中考数学二轮培优训练第13讲 相似三角形中的“母子(双垂直)”型（原卷版）

第13讲相似三角形中的“母子(双垂直)”型【应对方法与策略】模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【多题一解】一、单选题1．（2021·江苏南通·统考一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（

）A．27 B．26 C．25 D．24二、填空题3．（2021·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______．4．（2021·山东济宁·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF=，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是_____．5．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．三、解答题6．（2021秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、．（1）求证：；（2）连接，若．求证：．7．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．8．（2020·浙江·九年级期末）如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点．（1）证明：．（2）当时，①求的长度．②如图2，作平分交于点，连结，求的面积．9．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考二模）如图，为的直径，为延长线上一点，与相切与点，，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．10．（2020·河南·校联考二模）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接并延长，交的延长线于点．以为直径作分别交，于点，，连接，．（1）证明：．（2）若的直径为3．填空：①当______时，四边形为正方形；②当______时，为等边三角形．11．（2020·安徽·校联考三模）在中，，平分．（1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值．12．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为．（1）求证：平分；（2）若，求的值．13．（2021·河南商丘·统考二模）如图，在中，的平分线AD交BC于点E，交的外接圆于点D．过点D作的切线DF，连接BD．（1）求证：．（2）若，．①当时，求线段的长为_____________．②当四边形OCDB为平行四边形时，的半径等于_____________．14．（2021·湖北武汉·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．15．（2020·福建泉州·统考模拟预测）如图，点A在线段EB上，且EA＝AB，以AB直径作⊙O，过点E作射线EM交⊙O于D、C两点，且．过点B作BF⊥EM，垂足为点F．（1）求证：CD•CB＝2CF•EA；（2）求tan∠CBF的值．16．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．17．（2021·浙江金华·统考一模）在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF．（1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H．①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH．②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长．（2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长．18．（2020·山东潍坊·校考一模）已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若，求的度数；（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长．19．（2020·福建泉州·统考模拟预测）如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．【一题多解】1．（2023春·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．2．（2022·四川成都·统考二模）如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．（1）求的度数．（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．3．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．(1)求的长．(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．4．（2021·河北石家庄·统考一模）如图，延长的直径，交直线于点，且，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中，且．（1）当时，的长为__________；（2）当时，求旋转角，并证明射线是的切线；（3）当时，求线段的长度；（4）直接写出线段的最大值．5．（2020·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边