2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高三上册第五次考试（12月）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高三上学期第五次考试（12月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，，，则可以是（

）A． B． C． D．2．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在等差数列中，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．124．已知为奇函数，则（

）A．1 B．2 C．0 D．5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项，以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C． D．7．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限C． D．10．已知函数，，对，f(x)与g(x)中的最大值记为，则（

）A．函数f(x)的零点为， B．函数的最小值为C．方程有3个解 D．方程最多有4个解11．已知函数，则（

）A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的极大值点为C．存在实数使得函数在定义域上单调递增D．若恒成立，则实数的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为.13．已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则.14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，分别为边所对的角，且满足.(1)求的大小；(2)若，求的面积.16．已知等比数列an的前n项和为，且，，成等差数列，.(1)求数列an(2)若，证明：数列bn的前n项和.17．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点．

(1)证明：；(2)求平面与平面所成角的余弦值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.19．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若为函数的正零点，证明：．

答案1．【正确答案】D【详解】依题意，，因此中不能有元素1，2，3，选项ABC不满足，D符合题意.故选：D2．【正确答案】C【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可.【详解】当时，，，此时，故，故充分性成立，当时，满足，解得，故此时必要性成立，故C正确.故选C.3．【正确答案】B【详解】在等差数列中，设首项和公差分别为，则，解得.故选：B.4．【正确答案】A【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可.【详解】因为为奇函数，所以，所以，而，得到，解得，经验证符合题意，所以，故A正确.故选A.5．【正确答案】D【详解】不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，所以当时，取得最小值．故选D．6．【正确答案】B【详解】因为，解得，所以，故选：B.7．【正确答案】B【分析】延长交于点M，延长交于点N，转化为求解最值即可．【详解】延长交于点M，延长交于点N，如图所示：根据正八边形的特征，可知，又，所以，，则的取值范围是．故选B．8．【正确答案】B【详解】如图，令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，则，而，因此，所以有，则，令与的半焦距为，由，得，于是，解得，则，，所以的渐近线方程为.故选B.9．【正确答案】BC【分析】利用复数的四则运算求出复数判断A，C，利用复数与点的对应关系判断B，利用虚数的性质判断D即可.【详解】因为，所以，，所以的虚部为，故A错误，而，故复数在复平面中对应的点在第三象限，故B正确，，，故C正确，虚数无法比较大小，故D错误.故选BC.10．【正确答案】BCD【详解】对于A，由，即，得或，所以的零点为和3，所以A不正确；对于B，因为的解为和，由与的图象可知，

当时，有最小值，所以B正确；对于C，因为的图象与有3个交点，

所以方程有3个解，所以C正确；对于D，令，因为，由选项B中的图象可知，当时，最多有2个解，，当时，有2个解；而有2个解，故最多有4个解，所以D正确．故选：BCD．11．【正确答案】AD【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.【详解】因为函数，则，其中，当时，则，令，可得，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，有极小值，即最小值，故A正确；当时，则，令，可得，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因为的值域为，所以函数无最小值，故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；故选AD.12．【正确答案】【详解】双曲线的焦点为，可得，则抛物线的标准方程为.故．13．【正确答案】/【详解】由题意可知，，所以，所以，所以，又函数的图象关于对称，又，且，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】连接，如图所示：因为，所以直线与所成角为（或其补角），因为平面，所以，又底面为矩形，所以，因为，平面，平面，而平面，所以，所以均为直角三角形，设，则，即，因为点E为的中点，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四棱锥的体积.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），，又，由正弦定理得，；（2）在中，由余弦定理得，，则，解得（舍），，.16．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式；（2），裂项相消求得，由，可得.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列知，，即，所以，有，即或.①当时，，不合题意；②当时，，得，所以等比数列的通项公式；（2）证明：由（1）知，所以，所以数列的前n项和，由，可得.17．【正确答案】(1)证明过程见详解(2)【详解】（1）连接，在菱形中，，，所以，在中，，，所以，所以，在中，，，，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为四边形是菱形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．

（2）记，连接，由点是棱的中点，且点是的中点，所以，又由（1）知平面，所以平面，则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

所以，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，解得，，所以平面的一个法向量为，因为是的中点，且，所以，所以，又，设平面的一个法向量为，所以，即，令，解得，，所以平面的一个法向量为，由图可知平面与平面所成角为锐角，所以，故平面与平面所成角的余弦值为．18．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，，故椭圆C的标准方程为.（2）点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，设点P的坐标为，，有，可得，直线BD的方程为，整理为；直线AD的方程为，整理为；直线AP的方程为；联立方程，解得，M的横坐标为，直线BP的方程为，联立方程，解得：，N的横坐标为，，故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直.19．【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）函数的定义域为．，①当即时，，函数单调递增，