2024-2025学年陕西宝鸡金台区高二上册期末质量检测数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西宝鸡金台区高二上学期期末数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，，以下结论中错误的是（

）A．若三个数成等差数列，则B．若五个数成等差数列，则C．若三个数成等比数列，则D．若三个数成等比数列，则2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则实数的值是（

）A． B．或 C． D．或3．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．4．如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段、上，且，，则等于（

）A． B．C． D．5．已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角是B．若直线，则C．点到直线的距离是1D．过与直线平行的直线方程是6．已知等比数列的前n项和为.且，，则（

）A．16 B．19C．28 D．367．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（

）A． B．C． D．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．若方程所表示的曲线为C，则（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C不一定是椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则10．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．11．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为.C．若，则的最小值为.D．过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共4小题）13．焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为.14．等比数列中，，，则.15．曲线在点处的切线方程为.16．已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为.四、解答题（本大题共6小题）17．已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30.(1)求这个等差数列的通项公式；(2)若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.18．在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．(1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；(2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.19．已知等比数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前n项和20．如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.21．已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.22．在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.（1）证明：AB⊥PD．（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

答案1．【正确答案】C【分析】由等差中项、等比中项的定义逐一验证每一选项即可求解.【详解】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；对于B，若五个数成等差数列，则，且当时，即成等差数列，故B不符合题意；对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.故选：C.2．【正确答案】B【分析】化为标准方程形式，然后代值计算即可.【详解】由椭圆，即，所以或，所以或，解得或．选：B．3．【正确答案】A【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.【详解】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.故选：A4．【正确答案】A【分析】由空间向量基本定理结合线段比例关系分解向量即可.【详解】由题意.故选：A.5．【正确答案】D【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D．【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确；直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确；点到直线的距离是：，所以C不正确；过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确；故选：D．6．【正确答案】C【分析】利用，，成等比数列求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：C.本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题.7．【正确答案】D【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项．【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；由题意则可得：，所以选项C正确，D错误；故选：D8．【正确答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．【正确答案】ABC【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD.【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.故选：ABC.10．【正确答案】AD【分析】由导数四则运算以及复合函数的导数逐一验算即可求解.【详解】由题意，，，.故选：AD.11．【正确答案】AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线，.对于A，，，A正确；对于B，设，，，的坐标为.B错误；对于C,,C正确；对于D，直线，联立，得：，,,D错误.故选：AC.12．【正确答案】ABD【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD13．【正确答案】【分析】结合椭圆的性质，即可求解．【详解】焦点在x轴上，，，则，解得，故故所求椭圆的方程为：．故．14．【正确答案】【分析】由基本量法列方程求出即可求解.【详解】设的公比为，因为，，所以,解得,故.故答案为.15．【正确答案】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得所求切线方程．【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，则切线的方程为，即.故．16．【正确答案】/【分析】联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可求出，即可得到双曲线C的离心率．【详解】联立方程组，消去，得，由题意，,得，即双曲线，故双曲线C的离心率.故．17．【正确答案】(1)(2)当或时，的最大值为.【分析】（1）由等差数列求和公式基本量的计算即可求解.（2）由等差数列求和公式结合二次函数性质即可求解.【详解】（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为，则由题意，解得，所以这个等差数列的通项公式为.（2）由（1），所以，而二次函数的对称轴为，开口向下，所以当或时，的最大值为.18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解.（2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称．两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.（2）圆O：的圆心为，半径为，若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，则圆心到直线的距离等于1，所以，解得.19．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由等比数列基本量的计算即可得解.（2）由错位相减法结合等比数列求和公式即可得解.【详解】（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，且所以，又，所以解得，所以数列的通项公式为.（2）若，则，数列的前n项和，，两式相减得，所以数列的前n项和.20．【正确答案】【分析】求解直线OA的方程，设出F的坐标，转化求解C的坐标，由向量共线，求解即可．【详解】OA的方程为：，设，所以，可得，F在线段OC上，所以，,得，整理得F的轨迹方程为.21．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案；（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案.【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，所以，，所以双曲线的方程为；（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，若线段的中点为，则直线的斜率存在，设为，且，，可得直线的方程为，与双曲线方程联立，可得，设，则，解得，经检验符合题意.22．【正确答案】（1）证明见解析（2）（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连结BD，∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.∴BD＝AD，∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝