2024-2025学年福建省三明市高三上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省三明市高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．2．抛物线的准线方程是（

）A． B．C． D．3．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．4．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．5．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．6．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（

）种.A． B． C． D．7．若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与的左､右两支分别交于点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．二、多选题（本大题共3小题）9．某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（），测得组性能得分为：，组性能得分为：，则（

）A．组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高B．组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小C．组性能得分的极差比组性能得分的极差大D．组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大10．已知等比数列的公比为，前n项和为，若，且，则（

）A． B． C． D．11．中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（

）

A．曲线C的图象关于原点对称B．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3D．曲线C上有且仅有3个点P满足三、填空题（本大题共3小题）12．若数列满足，数列的前项和为，则.13．用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是.（用数字作答）14．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；(2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望．16．在三棱柱中，，，，分别为，的中点，．(1)求证：；(2)若，求二面角的正弦值．17．已知函数.(1)若函数存在一条对称轴，求的值；(2)求函数的单调区间.18．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A，B两点.①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以TA，TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.(1)求20以内的质数“理想数”；(2)已知.求m的值；(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明.

答案1．【正确答案】C【详解】因为，其对应的坐标为，故选：C.2．【正确答案】D【详解】由得抛物线的标准方程为，所以其准线方程为.故选：D.3．【正确答案】A【详解】不等式等价于，使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A．4．【正确答案】C【详解】，．解得，，在处的切线斜率为．又，函数在处的切线方程为，即．故选：C．5．【正确答案】B【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．【详解】如图正八面体，连接和交于点，因为，，所以，，又和为平面内相交直线，所以平面，所以为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为，所以，，，则，.故选B．6．【正确答案】B【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法；若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、（1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），共种排法；若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组，分别有、、种排法，故共有：种排法.故选：B.7．【正确答案】A【详解】解法一由，令，得，所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，因为为正三角形，为的边长，为的高，由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处，所以的高为，所以，解得．解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，，则为正三角形，过点作，垂足为，由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处，所以，所以，所以的最小正周期，即，所以．故选：A．8．【正确答案】A【详解】依题意，由，得，即的平分线与直线PQ垂直，设的平分线与直线PQ交于点D，如图，则，，又，所以，所以，．由题得，，设，，，在中，，，则，，由双曲线的性质可得，解得，则，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故选：A9．【正确答案】AD【分析】根据计算公式分别计算两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得组性能得分的平均数为，组性能得分的平均数为，所以组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高，故A正确；组性能得分的中位数为，组性能得分的中位数为，所以组性能得分的中位数比组性能得分的中位数大，故B错误；组性能得分的极差为，组性能得分的极差为，所以组性能得分的极差比组性能得分的极差小，故C错误；组性能得分共个数据，，所以组性能得分的第75百分位数为，比组性能得分的平均数大，故D正确.故选AD.10．【正确答案】BC【分析】首先排除公比的特殊情况，结合给定条件解出公比范围，利用等比数列的性质逐个分析即可.【详解】A：，故A错误；B:，对恒成立，则恒成立，则，，故，故B正确；C：，故C正确；D：由，故D错误.故选BC.11．【正确答案】AC【详解】对于选项A：化简得到：，将代入可得，所以曲线.把代入得，所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确；对于选项B：令解得，即：曲线经过，结合图象，得.今，得，令，得，因此，结合图象曲线只能经过3个整点.故B错误；对于选项C：可得，所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即：都不超过3，故C正确；对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则，设，则，所以，故只有原点满足，故D错误.故选.12．【正确答案】/【详解】由，则,当时，上式相加得，又，所以，又符合上式，可知，所以，所以.故答案为.13．【正确答案】56【详解】由五位数需满足可知，，再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，．故能组成个这样的五位数，则．则在的展开式中，含项系数为．故．14．【正确答案】【详解】当时，过原点作的切线，设切点，，，则切线方程为，又切线过点，所以，所以.设，则，故为增函数，且，所以，当时，过原点作的切线，设切点B，，则切线为，又切线过点所以，又，，因为，所以两切线垂直，所以.故15．【正确答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件，，，由题意知，，，因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为.（2）两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6,由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，则；表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮，则；表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，则；表示两次都是踩线及3分线内侧投入，则；表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，则；表示两次都是3分线外侧投入，则，故的分布列为023456所以.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接，取中点为，连接，，因为，所以，因为，为，的中点，且，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为，且，所以平面，因为平面，所以；（2）因为，在中，，所以，又平面，故平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，所以，，，设平面与平面的一个法向量分别为，，则，令，解得，故，，令，解得，，故，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为．17．【正确答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为函数，所以函数定义域为−1,1，且函数存在一条对称轴，故对称轴为，所以，即，所以，故，当且仅当时上式恒成立，故.（2）由题意，当时，有且，所以f'x<0，故的单调减区间为当时，令，且当时，f'x>0，当时，f所以的单调增区间为，单调或区间为；综上，当时，的单调减区间为，无增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.18．【正确答案】(1)；(2)①；②.【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得：，因为，所以解得，再由椭圆的一个顶点为，可得，所以由，即椭圆C的标准方程为；（2）①直线过椭圆右焦点可得：，即，所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得：，设两交点，则有所以，又椭圆左焦点到直线的距离为，所以，解得：或（舍去），即；②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点，且，可知直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得：，由，且，解得，

设两交点，中点，则有所以，即，整理得，又因为，所以，则.19．【正确答案】(1)2和5为两个质数“理想数”(2)的值为12或18(3)证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）以内的质数为，，故，所以为“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故是“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数