2024-2025学年北京市朝阳区高一上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年北京市朝阳区高一上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共6小题）1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（

）A． B． C． D．4．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．5．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．6．下列各组角中，终边相同的角是（

）A．与B．C．与D．与二、未知（本大题共1小题）7．已知，则实数a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．三、单选题（本大题共3小题）8．已知函数，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（

）A． B． C．1 D．10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（

）．A． B．C． D．四、填空题（本大题共5小题）11．已知，且则.12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则，．13．若扇形所在圆半径为2cm，圆心角为1弧度，则该扇形面积，周长为.14．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为.15．已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：①当时，在区间上单调递增；②当时，是偶函数；③当时，有3个零点；④当时，对任意，都有．其中所有正确结论的序号是．五、解答题（本大题共5小题）16．已知集合.(1)求；(2)记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.17．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是，空气温度是，则经过时间分钟后物体温度可以由公式求得.若把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要多少分钟？（精确到0.01）（参考数据：）18．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数．请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．条件①：;条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．(1)求实数k的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；(3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由．20．已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.(1)对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合及，；(2)求证：不可能为18；(3)求的最大值以及的最小值.

答案1．【正确答案】B【分析】根据补集概念求解出结果.【详解】因为，，所以，故选：B.2．【正确答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，例如，此时满足，但，所以A错误；对于B中，当时，，所以B不正确；对于C中，由指数函数为单调递增函数，因为，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时满足，但，所以D不正确.故选：C.3．【正确答案】A【详解】.故选：A.4．【正确答案】C【详解】在同一坐标系中，函数，的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，故C符合题意.故选：C.5．【正确答案】B【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断.【详解】对A、C：由，定义域为，所以不是奇函数，故A错误；定义域为，，所以是偶函数，故C错误；对B、D：，定义域为，，所以为奇函数，当时，，且在上单调递减，故B正确；，定义域为，且，所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误；故选：B.6．【正确答案】D【详解】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误；对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误；对于C，当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边在所在直线上的角，故C错误；对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角，表示终边在轴负半轴上的角，故D正确.故选：D.7．【正确答案】D【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.【详解】因为，由在上单调递增，可得，即；由在内单调递增，可得，即；由在内单调递增，可得，即；综上所述.故选：D.8．【正确答案】C【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，所以，所以为奇函数；当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以，所以，所以，由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，故选：C.9．【正确答案】D【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，因为，即，则，所以分形维数是.故选：D.10．【正确答案】A【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A.11．【正确答案】【详解】由可得，由于，故，故，故答案为.12．【正确答案】【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解.【详解】对空：由点在角的终边上，所以，.对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以.故；.13．【正确答案】【详解】由题意可得，故扇形面积为，弧长为，故周长为，故14．【正确答案】【详解】令，而为增函数，要使函数在区间上是增函数，即在上是增函数且恒大于0，所以，解得，则的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】①③【分析】根据题意，结合函数的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为为偶函数，且当时，，当时，可得，所以，对于①中，当时，，令，解得，如图所示，，结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；对于②中，当时，可得，令，即，解得或，当时，可得；当时，可得；当时，可得，即，其中，所以，所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确；对于③中，当时，令，即，解得，当时，令，即，解得，当时，令，即，解得或，若时，函数有三个零点，分别为，和；若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确；对于④中，当时，令，即，解得，将点代入函数，可得，解得，如图所示，当时，函数，所以④不正确.故①③.16．【正确答案】(1)或x≥4，(2)【详解】（1）解：因为即，所以，所以；由，可得或，所以或x≥4，进而可得，所以或x≥4，.（2）解：因为，所以，所以，所以；又或x≥4，若，则，所以，所以实数的取值范围是17．【正确答案】2.77【详解】由题知代入，得，即，，解得，即把温度是的物体放在的空气中冷却到，大概需要2.77分钟.18．【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.【详解】解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以.（2）因为当时，，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以，综上，（3）由，得，因为是奇函数，所以，又在上是减函数，所以，即对任意恒成立，令，则，由，解得，故实数的取值范围为.19．【正确答案】(1)答案见解析(2)在区间上单调递减，证明见解析(3)在内有且仅有一个零点，理由见解析【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为−1,1，若选①：因为，即为奇函数，则，整理得，注意到对任意x∈−1,1上式均成立，可得，解得；若选②：因为，即为偶函数，则，整理得，注意到对任意x∈−1,1上式均成立，可得，解得.（2）若选①：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，且，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上单调递减；若选②：则，可得，可知函数在区间上单调递减，证明如下：对任意，且，则，因为，则，可得，即，所以函数在区间上单调递减.（3）若选①：则，则，由（2）可知在0,1内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在0,1内单调递减，又因为为奇函数，则在内单调递减，且在内单调递减，可知在内单调递减，结合，，可知在内有且仅有一个零点；若选②：则，则，由（2）可知在0,1内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在0,1内单调递减，又因为为偶函数，则在内单调递增，且在内单调递增，可知在内单调递增，结合，，可知在内有且仅有一个零点.20．【正确答案】(1)，，(2)证明见解析(3)的最大值为17，的最小值为16.【详解】（1）数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为，因为，，所以，，.（2）假设，设，则，即，因为，所以，同理，设，可以推出，中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，