人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》作业设计

“双减”背景下初中数学作业设计-----角的平分线的性质一、教材分析角的平分线的性质这一节的内容位于人教版八年级上册第十二章《全等三角形》，是在学生学习了全等三角形的性质和判定之后进行的。本节内容包含三个方面：1、会用尺规作图--作一个角的平分线；2、角平分线的性质；3、角平分线的判定。在学习角的平分线的性质之前，学生已熟练掌握了全等三角形的性质和判定方法，本节课的内容是要通过证明三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等这一性质进行研究的。同时，学习了角的平分线的性质，也为后面学生证线段相等提供新的思路和方法。二、课标分析2022年新课标指出，在初中阶段，角的平分线的教学，教师需要引导学生理解角平分线的概念，会通过尺规作图作一个角的平分线，探索并证明角平分线的的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等。在探究的过程中，让学生明确命题的证明步骤，会独立证明命题。学生在与老师和同学一起探讨交流的过程中，感受数学的奥妙和学习数学，获得知识的快乐。三、设计理念为更好贯彻落实国家的双减政策，践行立德树人的根本任务，切实提高课堂教育教学质量，实现课堂减负增效，从而促进学生全面发展特设计本次作业。作业的内容主要考察了学生能否利用尺规作图作出一个角的平分线，以及对角的平分线的性质和判定的掌握情况。根据此阶段学生学习的特点，设计了三个维度的作业：基础巩固作业（5个题）、综合拓展作业（2个题）、创新应用作业（1个题）。四、作业内容基础巩固作业。设计目标：学生在理解角平分线及其性质的基础上，能明白尺规作图的依据，并能直接应用性质解决问题。如图是利用尺规作∠AOB的平分线OP，在尺规作∠AOB的平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）SSSB、SASC、ASAD、AAS分析：本题没有要求学生去作图，而是反向考察学生对尺规作图作角的平分线原理的理解。解题策略：回顾作图的步骤（1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，OB于点N，可得OM=ON；2、分别以M、N为圆心，大于二分之一MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，可得MC=NC；3、连接OC，可得OC=OC），找出过程中的等量关系，从而分析得出是运用的哪种三角形全等的判定方法。如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PM⊥OA垂足为M，若PM=3cm,求点P到边OB的距离。分析：角平分线的性质是由两个条件①角平分线②垂线，得到的一个结论是线段相等。此题已满足角平分线，以及角平分线上一点到一边的距离，应该对比性质的内容，找出已知条件和未知条件。解题策略：过点P作PN⊥OB，再根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得PM=PN。如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证EB=FC分析：此题主要考查角平分线的性质与全等三角形的判定和全等三角形的性质。角平分线的性质使用条件已满足，直接应用即可。解题策略：首先由角平分线的性质可得DE=DF，角平分线上的点到角两端的距离相等；由DE⊥AB，DF⊥AC可得，三角形BED与三角形CFD均为直角三角形，结合已知条件BD=CD，运用直角三角形判定方法HL可证两三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得：EB=FC。注意：学生误用边边角证全等。如图，点D、E、F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD是∠BAC的平分线。分析：角的平分线的判定是由两个条件①过一点的垂线②垂线段相等，得到一个结论该点在角平分线上。使用该判定的前提是这个点必须在角的内部。角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便。解题策略：由条件△DCE和△DBF的面积相等，涉及到面积，题中没有高可知需要做辅助线，过点D作出△DCE的边BF的高DM与△DBF的边CE上的高DN。再由条件CE=BF可得DM=DN（面积相等，底边相等则高相等）。∵DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN，根据角平分线的判定定理（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）可得AD是∠BAC的平分线。如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB与点E。若∠B=50°，∠C=70°，求∠EDA的度数。若AB=10，AC=8，DE=4，求△ABC的面积分析：本题主要考查了三角形的内角和知识、角平分线的性质以及三角形的面积。解题策略：对于（1）问，直接利用三角形的内角和定理得出∠BAC的度数，再根据条件AD是△ABC的角平分线，可得∠BAD的度数，最后根据直角三角形两锐角互余可得出∠EDA的度数。对于（2）问，通过分析条件可知，需要作辅助线：过点D作DF⊥AC，依据角平分线的性质，可得DE=DF=3，在根据三角形的面积公式计算△ABD与△ADC的面积，最后根据△ABC的面积等于△ABD与△ADC的面积之和可得出答案。综合拓展作业如图，在四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC，求证：（1）CO平分∠ACD；（2）AB+CD=AC分析：此题在教材52页第7题的基础上增加了第二问。是角平分线的性质与判定的综合应用，同时结合三角形全等的判定与性质，得到线段的关系。解题策略：（1）问中，过点O作OE⊥AC于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OB=OE，根据条件O为BD的中点可知OB=OD，进而得到OE=OD，最后根据角平分线的判定定理（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）即可得出结论。对于（2）问，利用“HL”可证明Rt△ABO≌Rt△AEO，根据全等三角形的性质（对应边相等）可得AB=AE；利用同理，可证Rt△CEO≌Rt△CDO，根据全等三角形的性质（对应边相等）可得CD=CE，最后利用等量代换即可得出结论。2、如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，BF交CE于点D，BD=CD.（1）求证：点D在∠BAC的平分线上.（2）若将条件“BD=CD”与（1）中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，成立吗？试说明理由.分析：本题考查角平分线的性质与判定，同时利用三角形的判定定理证三角形全等，从而得到对应边相等；解题策略：（1）问中欲证点D在∠BAC的平分线上，即证垂线段DE=DF。连接AD，由条件CE⊥AB，BF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，再结合已知条件BD=CD，AD=AD（公共边）依据AAS可证△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再利用角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上解答；对于（2）问，依据角平分线的性质，得出DE=DF，再利用ASA证明△BDE≌△CDF，即可解答.创新应用作业1、如图，直线a,b,c表示三条相互交叉的公路，现要建立一个供水站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？分析：此题求供水站到三条公路的距离相等，可以转化为数学问题：在平面内找一点，使其到三条线段的距离相等。依据角平分线的性质可知，寻找的点一定是直线a与直线b，直线a与直线c，直线b与直线c所形成的角的平分线的交点。但应注意，找点到三条线的距离相等时，不能忽略三条线组成的三角形外的点。解题策略：作出三条线组成的三角形任意两内角的平分线的交点，即为第一处供水站的位置，到三边的距离相等，如下左图。作出三角形两外角的平分线的交点，共有三处供水站的位置，到三角形一边与其他两边延长线的距离相等，如下右图。反思与总结本次作业我从三个维度进行设计：基础巩固作业、综合拓展作业、创新应用作业，三个作业难度对学生的综合素养要求越来越高，对学生数学思维逐步提升，充分体现了作业设计的层次性、灵活性，共8个题，在上课时，基础巩固作业为全班必做，综合拓展作业、创新应用作业为第一梯度学生必做，第二梯度学生选做，第三梯度学生不做，每个学生都能在自己的能力范围内做相应的题目，符合“双减”政策下的作业布置要求，以减负增效为根本目标。同时，在作业完成过程中，很好的激发了学生的数学学习兴趣，增强了部分同学的学习积极性。基础巩固作业，共5个题，题目考查的内容相对比较单一，85%的学生能独立完成，但在几何语言的书写上，还存在一定的问题，不够规范，比如缺少角到两边距离的符号语言，这也警示我在今后的教学中要强化示范几何语言的书写，同时给学生讲明白书写的逻辑关系。综合拓展作业，融合的知识点相对比较多，对学生知识的储备量和灵活应用能力要求比较高，在解题过程中，学生做题的速度和反应上，会相对比较慢，甚至出现完全没有思路的现象，我在发现后，给予了一定的思路引导，两个题大部分完成的不错。创新应用作业，是将所学的知识与我们实际生活相结合，能够大大激发学生的学习兴趣。在完成作业过程中，学生能够找到一处，但是剩下三处没有想