2025高考数学二轮复习-专题检测1【课件】

专题检测一202512345678910111213141516171819一、选择题1.(2023·全国乙,理4)已知f(x)=是偶函数,则a=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2D12345678910111213141516171819A12345678910111213141516171819解析

设f(x)=(3x-3-x)cos

x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0,故选A.123456789101112131415161718193.(2020·新高考Ⅱ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]D解析

因为定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0,解得-1≤x≤0或1≤x≤3,所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718194.生物丰富度指数

是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(

)D12345678910111213141516171819B12345678910111213141516171819A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>bA12345678910111213141516171819123456789101112131415161718197.(2024·新高考Ⅱ,8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(

)C解析

当x≤-a时,x+a≤0,当x≥-a时,x+a≥0,当-b<x≤1-b时,ln(x+b)≤0,当x≥1-b时,ln(x+b)≥0,要使f(x)≥0,必须-a=1-b,即b=a+1,123456789101112131415161718198.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000B12345678910111213141516171819解析

∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1

000.∴f(20)>1

000.结合各选项知,选项B一定正确.12345678910111213141516171819二、选择题9.(2023·新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(

)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点ABC解析

对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181910.(2020·新高考Ⅰ,11)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(

)ABD123456789101112131415161718191234567891011121314151617181911.(2024·新高考Ⅰ,10)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(

)A.x=3是函数f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)AC12345678910111213141516171819解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴x=3是函数f(x)的极小值点,∴A正确.当0<x<1时,0<x2<x<1,又由上可知当0<x<1时,f(x)单调递增,∴f(x2)<f(x),∴B错误.当1<x<2时,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正确.f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=-2(x-1)3.当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=-2(x-1)3的值有正有负,∴D错误.故选AC.12345678910111213141516171819三、填空题12.(2024·广东广州三模)函数

其中a>0且a≠1,若函数是单调函数,则a的一个可能取值为

.

4(答案不唯一)解析

因为a>0且a≠1,若函数是单调函数,结合二次函数性质可知f(x)在R上单调递增,故答案为4(答案不唯一).1234567891011121314151617181913.函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为

.

1123456789101112131415161718191234567891011121314151617181991234567891011121314151617181912345678910111213141516171819四、解答题15.(13分)(2024·上海,18)若f(x)=logax(a>0,a≠1).(1)曲线y=f(x)过(4,2),求f(2x-2)<f(x)的解集;(2)存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,求实数a的取值范围.解

(1)因为y=f(x)的图象过点(4,2),故loga4=2,故a2=4,即a=2(负值舍去).而f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,又f(2x-2)<f(x),所以0<2x-2<x,即1<x<2,故f(2x-2)<f(x)的解集为{x|1<x<2}.12345678910111213141516171819(2)因为存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,所以2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),即2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2)有解.因为a>0,a≠1,故x>0,故a2x2=(x+1)(x+2)在(0,+∞)上有解,12345678910111213141516171819(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及其最大值与最小值.12345678910111213141516171819x(-∞,-1)-1(-1,4)4(4,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增123456789101112131415161718191234567891011121314151617181917.(15分)(2020·全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.解

(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.12345678910111213141516171819(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln

a.当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0;当x∈(ln

a,+∞)时f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln

a)单调递减,在(ln

a,+∞)单调递增,故当x=ln

a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln

a)=-a(1+ln

a).12345678910111213141516171819由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln

a)存在唯一零点.由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,故f(x)在(ln

a,+∞)存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点.1234567891011121314151617181918.(17分)(2022·北京,20)已知函数f(x)=exln(1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.12345678910111213141516171819所以对任意x∈[0,+∞),g'(x)>0恒成立,故g(x)在[0,+∞)上单调递增.12345678910111213141516171819(3)证明

设函数F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).因为t>0,所以x+t>x>0.因为g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x+t)>g(x),即g(x+t)-g(x)>0,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为s>0,所以F(s)>F(0),即f(s+t)-f