2025高考数学二轮复习-微培优10 定值、定点与定直线问题【课件】

微培优10定值、定点与定直线问题2025

圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题都是研究某些几何元素与几何量动中有静,变化中蕴含不变等规律的问题,是高考对直线与圆锥曲线综合考查的热点之一,题目具有一定的综合性,难度中等或偏上.

定值、定点、定直线问题虽考查角度各不相同,但解决问题的思路基本是一致的,首先是解决好参数问题,通过引进参数、运用参数、消去参数解决相关问题;其次是要善于运用特殊化方法,即先从问题的特殊情况入手,发现和推导问题结论,然后再证明一般情形成立,从而解决定值、定点、定直线问题.角度一定值问题(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,若一条斜率不为0的直线l过点(-1,0)与椭圆交于M,N两点,椭圆C的左、右顶点分别为A,B,直线BN的斜率为k1,直线AM的斜率为k2,规律方法求解定值问题的基本方法先猜后证法从特殊化入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关消参数法直接推理、计算,并在计算推理过程中消去参数,从而得到定值.解题步骤:(1)设参.选择适当的参数当变量,一般情况先设出直线方程y=kx+b或x=my+n、点的坐标等.(2)用参.要把证明为定值的量表示成上述参数的函数.(3)消参.将中间结果代入目标量,通过计算化简得出目标量与引入的参数无关,是一个常数角度二定点问题例2(2024·山东聊城一模)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在原点,且经过点P(2,2),动直线l:y=kx+b不经过点P且与抛物线C相交于A,B两点,直线PA和PB的斜率之积等于3.(1)求抛物线C的标准方程;(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.(1)解

依题意可设抛物线C:x2=2py,由点P(2,2)在抛物线C上,故4=2p×2,解得p=1,故抛物线C的标准方程为x2=2y.则Δ=4k2+8b>0,且x1+x2=2k,x1x2=-2b.于是有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4.此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,因此直线l的方程化为y=k(x+2)-4,即直线l过定点(-2,-4).规律方法

圆锥曲线的定点问题的求解策略参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数,将方程一端化为零,既然过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,所以参数的系数须全部为零,由此得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点特殊到一般法先根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关关系法对于满足一定条件的两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,可设直线(或曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标所满足的方程(组),求出相应的直线(或曲线),然后再利用直线(或曲线)过定点的知识求解角度三定直线问题(1)求椭圆L的标准方程;(2)若直线AD,BC的斜率相等,证明:点P在一条定直线上运动.(2)证明

设直线AD,BC的斜率为k(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0).规律方法解决圆锥曲线中定直线问题的方法引进参数法实质是求动点的轨迹方程,首先根据题意引入参数,用参数表示经过定直线的动点,将其代入已知条件中,并根据问题所给的条件建立关系式,然后消去参数,即可得到定直线的方程相关点法用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来,再代入已知的曲线方程和直线方程中,便可求出定直线的方程针对训练

双曲线C相交于A,B两点,过点A作直线l:y=t的垂线AE,E为垂足.(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在实数t,使得直线EB过定点P?若存在,求t的值及定点P的坐标;若不存在,说明理由.(2)存在.假设存在实数t,使得直线EB过定点P.由对称性可知,点P在y轴上.设直线AB:y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x1,t).(1)求双曲线C的方程;(2)已知直线l与双曲线C交于M,N两点(均与点P不重合),与直线x=2交于点Q,且点M,N在直线x=2的两侧,若|MP|·|NQ|=|MQ|·|NP|,线段MN的中点为R,证明: