函数的连续与间断

函数的连续与间断一、函数的连续性概念下面先引入增量的概念,然后来描述连续性,并引出函数的连续性的定义.函数的增量1.

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在这个邻域内从x0(初值)变化到x1(终值)时,终值与初值之差x1-x0叫作自变量的增量,记作Δx=x1-x0，相应地,函数的终值f（x1）与初值f（x0）之差f（x1）-f（x0）=f（x0＋Δx）-f（x0），叫作函数的增量,记作Δy=f（x0＋Δx）-f（x0）.

这个关系式的几何解释是函数的增量表示当自变量从x0变化到x0＋Δx时,曲线上对应点的纵坐标的增量，如图1-39所示．

应该注意增量记号Δx，Δy是不可分割的整体,增量Δx可正、可负，增量Δy可正、可负或为零.一、函数的连续性概念函数的连续性2.

下面从函数图像上来看函数在给定点x0处的变化情况.从图1-39中可以看出,函数y=f（x）的图像是连续不断的曲线,而在图1-40中,函数y=g（x）的图像在点x=x0处断开了.因而可以说函数y=f（x）在点x=x0处是连续的,而函数y=g（x）在点x=x0处有间断.一、函数的连续性概念

从图140中可以看到函数y=g（x）在点x=x0到x1=x0＋Δx时,当Δx趋于零时,但Δy并不趋于零,而在图1-39中,当Δx趋于零时,Δy相应地也趋于零.通过以上分析可知,函数y=f（x）在点x=x0处是连续的特征是:当Δx→0时,Δy→0,即limΔx→0Δy=0.函数y=g（x）在点x=x0处断开的特征是:当Δx→0时，Δy并不趋于零,即limΔx→0Δy≠0.由此得到函数在点x0处连续的定义:一、函数的连续性概念定义

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋于零时,函数y=f（x）相应的增量Δy=f（x0＋Δx）-f（x0）也趋于零,即limΔx→0Δy=limΔx→0［f（x0＋Δx）-f（x0）］=0那么称函数f（x）在点x0处连续,其中x0叫作函数f（x）的连续点．一、函数的连续性概念在上面定义中,如果记x=x0＋Δx,那么Δy=f（x）-f（x0）.其中Δx→0时,x→x0;Δy→0时,f（x）→f（x0）.于是函数f（x）在点x0连续也可以定义为：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果函数f（x）当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f（x0）,即limx→x0f（x）=f（x0），那么就称函数f（x）在点x0连续.一、函数的连续性概念由此定义知，函数在点x0连续必须满足下面三个条件：（1）在点x0的某个邻域内有定义；（2）极限limx→x0f（x）存在；（3）极限limx→x0f（x）的值等于该点的函数值f（x0）.以后常用这三个条件来讨论函数f（x）在某点处是否连续.一、函数的连续性概念

所以，函数f（x）在x=3处连续.由函数的左右极限的定义，相应地可以得到函数左连续及右连续的定义.【例1】一、函数的连续性概念如果那么称函数f（x）在点x0左（或右）连续．显然，f（x）在x0处连续的充分必要条件是f（x）在点x0既要左连续又要右连续．在区间上每一点都连续的函数，叫作在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．一、函数的连续性概念

即函数在点x=1处是连续的．【例2】一、函数的连续性概念

讨论函数y=sinx在区间（-∞，＋∞）内是否连续．解y=sinx的图形如图1-41所示.容易看出，其图形在区间（-∞，＋∞）是一条连续不间断的曲线，因而说函数y=sinx在区间（-∞，＋∞）内是连续的．【例3】一、函数的连续性概念思考

如何判断函数在某一点是否连续？函数在某一点极限存在与函数在该点连续之间是什么关系？一、函数的连续性概念二、函数的间断点根据定义，函数y=f（x）在点x0处连续的条件是：（1）函数y=f（x）在点x0某个邻域内有定义；以上三条同时满足，则函数y=f（x）在点x0处连续，如果其中任何一条不满足，则称函数y=f（x）在点x0处间断，其中x0叫作函数f（x）的不连续点或间断点．

如果补充定义:令x=2时,f（x）=4,则所给函数在x=2处连续.所以x=2称为该函数的可去间断点.【例4】二、函数的间断点

所以点x=1是函数f（x）的间断点.如果改变函数f（x）在x=1处的定义:令f（1）=2,则f（x）在x=1处成为连续.所以x=1称为该函数的可去间断点【例5】二、函数的间断点

【例6】二、函数的间断点

因为函数y=f（x）的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称x=0是函数f（x）的跳跃间断点．如果点x0为间断点，且limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在，那么点x0为f（x）的第一类间断点，其余的间断点称为第二类间断点．二、函数的间断点

对于第一类间断点x0，如果limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在,且limx→x0-f（x）＝limx→x0＋f（x），通过补充或改变函数在x0的函数值,使得函数在x0点连续,那么称x0为可去间断点;如果limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在但是它们的值不相等,那么称x0是跳跃间断点.对于第二类间断点x0,limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）至少有一个不存在.见下面几个例题.二、函数的间断点

【例7】

【例8】二、函数的间断点

函数y=tanx在x=π/2处的左极限和右极限都不存在,即所以x=π/2是函数y=tanx的第二类间断点．【例9】思考

函数的间断点有哪几种类型?二、函数的间断点连续函数的运算与性质第六节一、连续函数的四则运算定理1

若函数f(x),g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)(当g(x0)≠0时)也在点x0处连续.

证明只证f(x)±g(x)在点x0处连续，其他情形可类似地证明.因为f(x)与g(x)在x0处连续，所以所以f(x)±g(x)在点x0处连续.例如，sinx，cosx在(－∞,+∞)上连续，故在其定义域内连续.一、连续函数的四则运算定理2二、反函数与复合函数的连续性

若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数x=φ(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续.证明略.例如，由于y=sinx在闭区间[－π/2,π/2]上单调增加且连续，所以它的反函数y=arcsinx在对应区间［－1,1］上也是单调增加且连续的.同理可得其他反三角函数的连续性.总之,反三角函数在其定义域内都是连续的.二、反函数与复合函数的连续性定理3

若limx→x0φ(x)=a,u=φ(x)，函数f(u)在点a处连续，则有二、反函数与复合函数的连续性

式（1-2）表明，在定理3的条件下，求复合函数f［φ(x)］的极限时，极限符号与函数符号f可以交换次序.式（1-3）表明，在定理3的条件下，若作代换u=φ(x)，则求limx→x0f［φ(x)］就转化为求limu→af(u)，这里limx→x0φ(x)=a.把定理3中的x→x0换成x→∞，可得类似的定理.注意二、反函数与复合函数的连续性

【例1】二、反函数与复合函数的连续性

则可得到下列结论.【例2】二、反函数与复合函数的连续性定理4设函数u=φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数f［φ(x)］在点x0处也连续.例如，函数u=1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续.函数y=sinu在(－∞,+∞)内连续，所以y=sin1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续.二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性定理5基本初等函数在其定义域内是连续的.因初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的，故得到下列重要结论.定理6—切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续.例如,函数y=x2(x－1)3的定义域为{0}∪［1,+∞),函数在点x=0的邻域内没有定义，因而函数y在x=0处不连续，但函数在定义区间［1,+∞)上连续.注意√三、初等函数的连续性

定理6的结论非常重要,因为高等数学的研究对象主要是连续或分段连续的函数，而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的，从而使高等数学具有强大的生命力和广阔的应用前景.此外，根据定理6求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值，即三、初等函数的连续性

解因为x=1是函数y=sin(lnx)的连续点，所以【例3】三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质

下面介绍闭区间上连续函数的几个基本性质，由于它们的证明涉及严密的实数理论，故略去其严格证明，但可以借助几何直观地来理解.先说明最大值和最小值的概念.对于在区间I上有定义的函数f(x),如果存在x0∈I，使得对于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.例如，函数y=cosx在区间[π/2,π]上有最大值0和最小值－1.函数y=sgnx在(－∞,+∞)内有最大值1和最小值－1.定理7

（最值定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理7表明，若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则至少存在一点ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在闭区间［a,b］上的最小值；又至少存在一点ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在闭区间［a,b］上的最大值（见图1-45）.四、闭区间上连续函数的性质当定理7中的“闭区间上连续”的条件不满足时，定理的结论可能不成立.例如，函数在闭区间［0,1］上有间断点x=0,x=1.该函数在闭区间［0,1］上既无最大值又无最小值（见图1-46).注意四、闭区间上连续函数的性质定理8（有界性定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.四、闭区间上连续函数的性质证明：若函数f(x)在(－∞,+∞)上连续，且limx→∞f(x)存在，则f(x)在(－∞,+∞)上必有界.另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上连续，所以在闭区间［－X,X］上连续，因此当x≤X时，f(x)在［－X,X］上一定有界，即存在M0>0，使|f(x)|≤M0.若取M=maxM0,1+A，则对于任意的x∈(－∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界.如果f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的零点.【例4】四、闭区间上连续函数的性质定理9

（零点定理）设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号（f(a)·f(b)<0），则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.零点定理的几何意义是：若连续曲线y=fx在［a,b］的端点处的函数值异号，则曲线与x轴至少有一个交点，如图1-47所示.四、闭区间上连续函数的性质

证明方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根.证明令f(x)=x5－7x+3,则f(x)在区间0,1上连续,又f(0)=3>0,f(1)=－3<0.由零点定理知,在区间(0,1)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0，即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根.【例5】四、闭区间上连续函数的性质定理10

（介值定理）设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点处有不同的函数值f(a)=A及f（b）=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C.介值定理的几何意义是：对介于f(a)与f(b)之间的任何一个数C,直线y=C与连续曲线y=fx至少有一个交点，如图1-48所示.

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.四、闭区间上连续函数的性质

设函数f(x)在(a,b)上连续，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得证明由于［x1,x2］(a,b),所以函数f(x)在［x1,x2］上连续,由闭区间连续函数的最值定理知,f(x)在［x1,x2］上有最大值M和最小值m,有m≤f(x)≤M