隐函数的微分法

隐函数的微分法第四节隐函数的微分法引例

引例在用数学方法探讨物理问题时，往往会发现物理公式中并没有明显的自变量和因变量，如气体的状态方程为pV=RT，其中p为压强、V为体积、T为绝对温度、R为常数.像这样的公式，从数学角度上讲，就是隐函数.那么隐函数中变量的变化率如何分析呢？以气体内能模型为例，在气体可逆变化中，气体的内能E与熵S满足

，如果结合状态方程pV=RT，不妨讨论一下气体的内能与体积和温度哪个关系更大.一、一个方程的情形第二章已经给出了隐函数F(x,y)=0不经显化直接由方程求导数的方法，如对x2+12+y2=0，就可以直接求得

，但进一步分析就会发现，这个隐函数显然是不存在的.由此可见，在求导之前，应首先确认隐函数的存在性.下面来探讨隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则来导出隐函数的导数公式，本节中的定理不作严格证明，仅给出推导过程.一、一个方程的情形

（一元函数存在定理）设函数F(x,y)满足如下条件：（1）在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数.（2）F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0.则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，且满足条件y0=f(x0)，并有定理1一、一个方程的情形

y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式F［x,f(x)］≡0，对等式两边再关于x求导，得又Fy连续，且Fy(x0,y0)≠0，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy≠0，因此定理推导一、一个方程的情形求由方程xy=yx所确定的隐函数的导数

解设F(x,y)=xy－yx，则由Fx=yxy－1－yxln

y,Fy=xylnx－xyx－1，故隐函数存在定理还可以推广到多元函数.【例1】一、一个方程的情形

（多元函数存在定理）设函数F(x,y,z)满足如下条件：（1）在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数.（2）F(x0,y0,z0)=0，Fz(x0,y0,z0)≠0.则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0)，并有定理2一、一个方程的情形将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,将等式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得定理推导一、一个方程的情形设

解设Fx,y,z=ez－z+xy－3,则

Fx=y,Fz=ez－1,于是【例2】一、一个方程的情形设z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，求

解方程两边同时对x求偏导,得即，再一次对x求偏导得【例3】一、一个方程的情形

整理得二、方程组的情形在满足条件时，一个方程组可以确定一对二元函数.例如，由方程xu-yv=0,yu+xv=1可以整理出两个二元函数，据此可求其偏导数.但实际上，更多的情况是无法显化出对应的函数u,v，那么根据原方程组直接求u,v的偏导数就成为必要.二、方程组的情形设Fx,y,u,v,Gx,y,u,v在点Px0,y0,u0,v0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数.又Fx0,y0,u0,v0=0,Gx0,y0,u0,v0=0,且偏导数所组成的函数行列式定理3二、方程组的情形在点Px0,y0,u0,v0不等于零,则方程组

在点Px0,y0,u0,v0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件u0=ux0,y0,v0=vx0,y0,并有二、方程组的情形二、方程组的情形设方程组确定一对具有连续偏导数的二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),则将恒等式两端分别对x（或对y）求导，应用复合函数求导法则得定理推导二、方程组的情形设

解下面直接利用定理3的结论来求解.当然也可依照推导定理3的方法来求解.【例4】二、方程组的情形这是关于

的线性方程组.由假设可知，在点P(x0,y0,u0,v0)的一个邻域内，系数行列式从而解上述线性方程组，得二、方程组的情形在的条件下，有二、方程组的情形设函数x=xu,v,y=yu,v在点u,v的某一邻域内连续且有连续偏导数，又,证明方程组在点x,y,u,v的某一邻域内唯一确定一组连续且有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)，并有【例5】二、方程组的情形将方程组

改写成如下形式按假设证明二、方程组的情形由定理3知，方程组在点x,y,u,v的某一邻域内唯一确定一组连续且有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y).将反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代回方程组得将上述恒等式两边分别对x求偏导数,得二、方程组的情形

这是关于

的线性方程组，由于J≠0,故可解得同理,可得二、方程组的情形引例说明为方便起见，取V,T为自变量，于是