2023年山东省济南市中考数学真题

济南市2023年九年级学业水平考试

数学试题

本试卷共8页，满分150分,考试时间为120分钟.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.下列几何体中，主视图是三角形的为（)

【解析】

【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.

【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意;

B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意;

C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意;

D、三棱柱的主视图是长方形，故木选项不符合题意;

故选：A.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.

2.2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨.将数字686530000用科学记数法表示为（)

A.0.68653xlO8B.6.8653xlO8

C.6.8653xlO7D.68.653xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中14同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，〃是正数;

当原数的绝对值V1时，〃是负数.

【详解】解：686530000=6.8653x10、，

故选：B

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1«同＜10,〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果/1=70。，那么N2的度数是（）

【答窠】A

【解析】

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得N1=N3,再结合三角板的特征利用平角定义即可算出N2的度

数.

/.Zl=Z3=70°,

.*.Z2=180°-90°-Z3=90°-70°=20°,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求已结果是解答本题的关键.

4.实数〃，匕在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

b

i.i।।।.1A

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.a+3V6+3D.-3a<—3b

【答案】D

【解析】

［分析］根据题意可得-3<匕<-2,。=2,然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.

【详解】解：由题意可得：-3<8<-2,4=2,所以

:.ab<0,a+h<0,a+3>b+3,-3a<-3b,

观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的：

故选：D.

【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出-3<8<-2,々=2是解题的关

键.

5.下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意;

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

的增减性解答.

【详解】解：•・•在反比例函数丁=&(&<0)中，k<0,

x

.•此函数图象在一、四象限，

・1<一2<0,

二点A(-4,yj,8(—2,%)在第二象限，

•・y>o，%>°，

函数图象在第二象限内为增函数，-4<-2<0,

•・°<y<%.

・・・3>o，/.C。,％)点在第四象限，

\为<0，

•.•%，力，必的大小关系为为<)'|<必,

故选：C.

【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较

简单.

8.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、

丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为()

A.-B.；C.-D.—

3234

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，画树状图如下：

丁••共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种,

...p——=一，

122

故选：B.

【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键.

9.如图，在中，AB=AC,NB4C=36。，以点。为圆心，以3c为半径作弧交AC于点O,再

分别以8,。为圆心，以大于1物的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交A3于点£,连接

2

DE.以下结论不,硬的是（）

A

「BE亚7口S^AEC_布+1

AC2S△的2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得，BC=DC，CE平分NA8C,根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分

线求出ZACE=36。=NA,得到AE=CE,根据三角形内角和求出NBEC=72°=NB,得到CE=BC,

即可判断B；证明得到空二g一，设AB=l,8C=x,则BE=l—x,求出x,即可

BCBE

判断C；过点E作石G_L3C于G,EHIAHH,由角平分线的性质定理推出EG=EH,即可根据三角

形面积公式判断D.

【详解】解：由题意得，BC=DC,CE平分/ABC,

•・,在AABC中，AB=AC,NBAC=36。，

ZABC=ZACB=72°

•；CE平分NABC,

：.ZBCE=36°,故A正确;

•・・CE平分/ABC,ZACB=72°

・•・Z4CE=36°=ZA,

AE=CE,

VZABC=72°,48=36。，

：.ZBEC=72°=ZB.

：.CE=BC,

：.BC=AEf故B正确；

•・•NA=/BCE,ZABC=NCBE,

:./^ABCs^CBE,

ABBC

：,一=——,

BCBE

设4A=1,AC=x,则BE=1—x,

••―9

x\-x

：•x2=l-x»

.nr1后73-小

••BE=1----------=---------»

22

，匹二/5,故C错误；

AC2

过点E作EGJ_BC于G,石”_LAC于”,

・・・CE1平分/AC3,EG1BC,EH工AC,

:・EG=EH

ACEH

：S^EC24s+\

故D正确;

S&BECL.BCEGbc2

2

故选：C.

【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角工分线的作图及性质，解一元

二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键.

io.定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）,当点Q（w，%）满足2（冗1+毛）=»+%时，称点

Q（W，%）是点。（不，X）的“倍增点”，已知点4（1,0），有下列结论:

①点2（3,8）,2（—2，—2）都是点6的“倍增点”；

②若直线y=x+2上的点A是点耳的“倍增点”，则点A的坐标为（2,4）；

③抛物线y=/一标―3上存在两个点是点耳的“倍增点”；

④若点B是点耳的“倍增点”，则4B的最小值是侦.

5

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证2,Q即可；②点4（。,。+2）,根据“倍增点”定

义，列出方程，求出。的值，即可判断；③设抛物线上点『一2，-3）是点耳的“倍增点”，根据

“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点3（孙〃），根据“倍增

点”定义可得2（根+1）=〃，根据两点间距离公式可得《32=（机_I）2+〃2,把〃=2（6+1）代入化简并

配方，即可得出AB?的最小值为日，即可判断.

【详解】解:①・・＜。,0）,2（3,8）,

2（&+%）=2x（l+3）=8,y+y2=0+8=8,

・・・2（%+9）=乂+%，则Q（3,8）是点4的“倍增点”；

・・・［（1,0）,02（-2,-2）,

+%,）=2x（l-2）=-2,yj+y2=0-2=-2,

・・・2（x+x2）=y+%，则。2（—2,—2）是点<的“倍增点”；

故①正确，符合题意；

②设点A（a,a+2）,

•・•点4是点4的“倍增点”，

/•2x（1+a）=0+〃+2,

解得：a=0,

・•・A（0,2）,

故②不正确，不符合题意；

③设抛物线上点。（人/-2/-3）是点耳的“倍增点”，

2（1+。=厂一2/—3,整理得：尸一4，一5=0，

•・•△二（T『-4x1x（-5）=36>0,

，方程有两个不相等实根，即抛物线y=--2r-3上存在两个点是点6的“倍增点”；

故③正确，符合题意；

④设点8（见〃），

•・•点&是点4的“倍增点”，

/.2（加+1）=〃,

V,[（1,0）,

・•・[§2=（6—1J+〃2

二（加-11+[2（加+1）[

=562+6/W+5

・•・1广的最小值为

・•・的最小值是聘=卓,

故④正确，符合题意；

综上：正确的有①©④，共3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题

的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案.

II.因式分解：X2-16=.

【答案】(x+4)(x-4)

【解析】

【分析】

【详解】x2-16=(x+4)(x-4),

故答案为：(x+4)(x-4)

12.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋

子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是1,则盒子中棋子的总个数是.

4

【答案】12

【解析】

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数.

【详解】解：3--=12,

4

・••盒子中棋子的总个数是12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比.

13.关于1的一元二次方程/一4工+2〃=0有实数根，则。的值可以是(写出一个即可).

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式ANO,由此可以得到关于。的不等式，解不等式就可以求出

〃的取值范围，进而得出答案.

t详解】解：•.•关于丫的一元二次方程/4xI20=0有实数根,

:.△=/-4ac=（-4）"-4xlx2«>0»

即16-8心0,

解得：a<2>

，。的值可以是2.

故答案为：2（答案不唯一）.

【点睛】本题考查一元二次方程加+bx+c=O（awO）的根与判别式的关系，当。>0时，方程有两个不

相等的实数根；当〃=0时，方程有两个相等的实数根：当。<0时，方程没有实数根.

14.如图，正五边形A8CDE的边长为2，以A为圆心，以4B为半径作弧鹿，则阴影部分的面积为

（结果保留乃）.

【答案】—

【解析】

【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出/A的度数，利用扇形面积公式计算即

可.

【详解】解：正五边形的内角和=（5—2卜180。=540。,

540°

.•Z=^-=108。,

5

2

r108^-26万

mABE~360—5

故答案为：--.

【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是

解答本题的关键.

15.学校提倡“低碳环保，绿色出行“，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出

发，沿同一条路匀速前进.如图所示，4和(分别表示两人到小亮家的距离S(km)和时间，(h)的关系，则

【解析】

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以订算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题.

【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了6-3.5=2.5(km),

25

・••小明的速度为：6M=5(km/h),

小亮0.4小时行驶了6km,

・••小明的速度为：4=15(km/h),

设两人出发加后两人相遇，

A(15-5)X=3.5

解得工=0.35,

・••两人出发0.35后两人相遇,

故答案为：0.35

【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的

思想解答.

16.如图，将菱形纸片A5C。沿过点C的直线折叠，使点。落在射线C4上的点E处，折痕CP交A。于

点P.若NA5C=30。，AP=2，则PE的长等于

p

【答窠】

【解析】

【分析】过点A作4Q_LPE于点°,根据菱形性质可得NDAC=75。，根据折叠所得

ZE=ZD=30°,结合三角形的外角定理得出NE4P=45。，最后根据PQ=APcos450=J5,

区2二'^=#即可求解.

tan30°

【详解】解：过点4作于点。，

•・•四边形ABCO为菱形，ZABC=30%

：,AB=BC=CD=AC,ZABC=ZD=30°,

・•・ZDAC=1(180°-30°)=75°,

•・•△CPE由△CPD沿CP折叠所得，

・・・Z£=ZD=30。，

.・・ZE4P=75o-30o=45°,

VAQ±PEtAP=2,

APQ=APcos450=y/2,WOAQ=PQ=y/2,

AQ

；・EQ=瓜,

tan30°

・•・PE=EQ+PQ=yf2+yf6t

故答案为：V2+V6.

E

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角

形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解.

三、解答题：本题共10小题，共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算：卜6|+位+(^-+1)°-tan6()°.

【答案】3

【解析】

【分析】根据绝对值的意义、负整数指数累、零指数易以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根

式加减运算法则求解即可得到答案.

【详解】解：+(^+l)°-tan60°

=6+2+1-行

=3.

【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数基运算、零指数弃运算、特殊角的三角函数值、二次根式加

减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键.

2(x+2)>x+3①

18.解不等式组：入x+2…，并写出它的所有整数解.

-<——②

35

【答案】-1VXV3,整数解为0,1,2

【解析】

【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可.

【详解】解：解不等式①，得

解不等式②，得xv3,

在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

原不等式组的解集是一1<x<3,

，整数解为0,1,2.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，

以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”.

19.已知：如图，点。为YABCD对角线AC的中点，过点。的直线与AD，8c分别相交于点E，F.

求证：DE=BF.

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得出4。〃8。，进而得出/£4。=//。。，NOEA=NOFC,

再证明/，根据全等三角形的性质得出AE=C/，再利用线段的差得出

AD-AE=BC-CF,即可得出结论.

【详解】证明：•・•四边形A3C。是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC.

：.ZEAO=ZFCO,ZOEA=ZOFC,

•・•点。为对角线AC的中点，

:.AO=CO,

・•・△AOEgACOF,

・•・AE=CF,

・•・AD-AE=BC-CF,

:.DE=BF.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键.

20.图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知48=Im,8c=0.6m,ZABC=123°,

该车的高度AO=L7m.如图2,打开后备箱，车后盖A3C落在ABC'处，AB’与水平面的夹角

NH4O=27°.

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点8'到地面/的距离；

（2）若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险?请说明理由.

（结果精确到0.01m,参考数据：sin27°«0.454,cos27°»0.891,tan27°«0.510>a=1.732）

【答案】（1）车后盖最高点*到地面的距离为2.15m

（2）没有危险，详见解析

【解析】

【分析】（1）作？E_LA。，垂足为点E，先求出的长，再求出？E+AO的长即可；

（2）过。'作_LB'E,垂足为点尸，先求得ZAB'E=63°,再得到=ZABC-ZABE=60°,

再求得3N=3'C・cos600=0.3,从而得出C到地面的距离为2.15—0.3=1.85,最后比较即可.

【小问1详解】

如图，作B£_L4Z），垂足为点E

ZB'AD=27°,Aff=AB=l

—翳

:.ffE-AG'sin27°«lx0.454=0.454

•・•平行线间的距离处处相等

・•・9E+47=0.454+1.7=2.154B2.15

答：车后盖最高点9到地面的距离为2.15m.

【小问2详解】

没有危险，理由如下:

过C'作C'/LZTE,垂足为点尸

:.48'七=63。

•・•ZAB,C=ZABC=123°

:.ZCB'F=AABC-ZAB'E=60°

在RhB'FC中，B'C'=BC=06

:.^F=BVcos60°=0.3.

・・•平行线间的距离处处相等

:.C到地面的距离为2.15-0.3=1.85.

V1.85>1.8

，没有危险.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键.

21.2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲.某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调

查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用加表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整

理.数据分成5组：

A组：1<相<12；B组：12K〃z<23；C组：23<34；D组：34《用<45；E组：

45<m<56.

下面给出了部分信息：

a.8组的数据：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：

请根据以上信息完成下列问题:

（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为度;

（2）请补全频数分布直方图；

（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是百万;

（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：

ABCDE

组别

l<m<1212</w<2323<AW<3434<m<4545<m<56

平均出游人数（百万）5.51632.54250

求这30个地区“五一”假期的平均出游人数.

【答案】（1）36（2）详见解析

（3）155（4）20百万

【解析】

【分析】（1）由E组的个数除以总个数，再乘以360。即可；

（2）先用。组所占百分比乘以总个数得出其个数，再用总个数减去A、B、D、£组的个数得出。组个

数，最后画图即可；

（3）根据中位数的定义可得出中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在8组，求解即可;

（4）根据加权平均数的求解方法计算即可.

【小问1详解】

3

—X360°=36°,

30

故答案为：36；

【小问2详解】

。组个数：30xl0%=3个，

。组个数：30—12—8—3—3=4个，

补全频数分布直方图如下：

地区个数（领数）

2

0

8

6【小问3详解】

4

2

O

共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在8组,

・•・中位数为"誓=15.5百万,

2

故答窠为：15.5；

【小问4详解】

5.5x12+16x8+32.5x4+42x3+50x3,工＜、

-------------------------------------------------=20（百万）,

30

答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万.

【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图的相关知识，涉及求扇形所对的圆心角的度数，画频数

分布直方图，求中位数，求加权平均数，熟练掌握知识点，并能够从题目中获取信息是解题的关键.

22.如图，A8，CO为。。的直径，。为。。上一点，过点。的切线与的延长线交于点尸，

NA5c=2NBC?，点E是的中点，弦CE,BO相交于点E.

（1）求NOC8的度数；

（2）若所=3,求OO直径的长.

【答案】（1）60°

⑵673

【解析】

【分析】（1）根据切线的性质，得出OC_LPC,再根据直角三角形两锐角互余，得出/OCB+NBCP=90。,

再根据等边对等角，得出NOC3=NQ3C,再根据等量代换，得出NOC8=2N3C/，再根据

NOCB+N8CP=90。，得出2NBCP+NBCP=90。,即3NBCP=90。，得出NBCP=30。，进而计算

即可得出答案；

（2）连接根据圆周角定理，得出ZDEC=900,再根据中点定义，得出£>E=£B，再根据同弧或

同弦所对的圆周角相等，得出ZDCE=/6。8=/产。石=1/。==30。，再根据正切的定义，得出

2

DE=3C，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半，得出8=2DE=6JJ，进而即可得出答案.

【小问1详解】

解：・・・PC与。。相切于点C,

・•.OC±PC,

・•・NOCB+/BCP=90。,

•：OB=OC,

・•・ZOCB=ZOBC,

■:ZABC=2ZBCP,

・•・/0CB=2/BCP,

・•・2ZBCP+/BCP=90°,即34BCP=90°,

：,/BCP=3(T,

:.NOCB=2NBCP=60。；

【小问2详解】

解：如图，连接OE，

•••CO是。。直径，

・•・ZDEC=90p,

•・•点E是30的中点，

•*,DE=EB»

:.NDCE=NECB=NFDE=-NDCB=30°,

2

在RtZXFOE中，

,・•所=3,NFDE=30。,

ppr-

:,DE==3日

tan30°

在RtMEC中，

•:/DCE=30。，

:・CD=2DE=66

:.00的直径的长为6.

【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆局角定理及其推论、锐角三角

函数、含30。角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理.

23.某校开设智能机器人编程校本课程，购买了4,5两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比8

型机器人模型单价多200元，用2000元购买4型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.

（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？

（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买8型机器人模型不超过A型机器人模型的3

倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最

少?最少花费是多少元？

【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，3型编程机器人模型单价是300元

（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元

【解析】

【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，8型编程机器人模型单价是（工一200）元，根据：用2000

元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并

检验后即可求解；

（2）设购买A型编程机器人模型〃？台，购买4型和B型编程机器人模型共花费w元，根据题意可求出机

范围和W关于机的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值

【小问1详解】

解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是（x-200）元.

根据题意，得史”1200

xx—200

解这个方程，得x=500

经检验，尤=500是原方程的根.

x—200=300

答：A型编程机器人模型单价是500元，8型编程机器人模型单价是300元.

【小问2详解】

设购买A型编程机器人模型加台，购买8型编程机器人模型（40一机）台，购买A型和8型编程机器人模型

共花费卬元，

由题意得：40-/n<3/??»解得相之10.

・•・卬=5（X）x0.8•m+3（X）x（）.8•（40—加）

即w=]60〃?+9600，

V160>0,

:.卬随机的增大而增大.

・•・当加=10时，w取得最小值11200,此时40=30；

答：购买A型机器人模型10台和8型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相

等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键.

24.综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块A8CO种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用

木栏围住，木栏总长为an?.

BC

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若a=10,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

设A8为mi,8c为)m.由矩形地块面积为8m2,得到孙二8,满足条件的(*,)，)可看成是反比例函数

Q

y=—的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m,得到2x+y=10,满足条件的(x,y)可看成一次函

x

数丁=-2工+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点

的坐标.

Q

如图2,反比例函数y=-(x>0)的图象与直线小丁=-2戈+10的交点坐标为(1,8)和,因止匕

木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=lm,BC=8m：或m,BC=

in.

y

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

【类比探究】

（2）若。=6,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.

【问题延伸】

当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=-2x+〃.发现直线y=-2式+。可以看成是直线y=-2x

Q

通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2,4）时，直线y=-2x+〃与反比例函数y=-（x>0）的图象有

X

唯一交点.

（3）请在图2中画出直线y=-2x+。过点（2,4）时的图象，并求出。的值.

【拓展应用】

Q

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=-2工+。与》=一图象在第一象限内

x

交点的存在问题”.

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且A3和5C的长均不小于1m,请直接写出。的取值范围.

【答案】3）（4,2）；4；2：（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8<a<17

【解析】

【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；

（2）根据。=6得出，y=-2x4-6,在图中画出y=-2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，

若有交点，则能围成，否则，不能围成；

（3）过点（2,4）作《的平行线，即可作出直线y=的图象，将点（2,4）代入y=-2x+a,即可求

出。的值；

Q

（4）艰据存在交点，得出方程-2工+。=一（。>0）有实数根，根据根的判别式得出。之8,再得出反比例函

Q

数图象经过点。,8),(8,1),则当y=-2尤+。与卜=一图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满

X

足题意；根据图象，即可写出取值范围.

Q

【详解】解：(1)•・•反比例函数y=；(x>0),直线4：j=-2x+10,

8

y=一

，联立得：rx,

y=-2x+10

x=1(x2=4

解得：父,引

[乂=8[y2=2

・••反比例函与直线4：y=-2%+10的交点坐标为(1,8)和(4,2),

当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：A8=lm,8C=8m；或AB=4m，BC=2m.

故答案为：(4,2)4；2.

(2)不能围出.

•・•木栏总长为6m,

，2x+y=6,则y=-2x+6,

画出宜线)=-2%+6的图象，如图中4所示：

Q

•••与与函数y=一图象没有交点，

X

・••不能围出面积为8m2的矩形；

(3)如图中直线％所示，4即为丁=-2)+。图象，

将点(2,4)代入y=-2x+a,得：4=-2x2+〃，

解得3=8；

y

Q

(4)根据题意可得：若要围出满足条件的矩形地块，y=-2x+a与)，=一图象在第一象限内交点的存在

x

问题，

Q

即方程-2x+a=—(4>0)有实数根，

整理得：2x2-or+8=0，

AA=(-«)2-4X2X8>0,

解得：a>8,

QQ

把x=1代入y=-得：y=-=8,

x1

・••反比例函数图象经过点(1,8),

QQ

把y=l代入y=一得：1=一，解得：、=8,

XX

二.反比例函数图象经过点(8,1),

令4(1,8),8(8,1),过点4(1,8),5(8,1)分别作直线)的平行线，

Q

由图可知，当丁=-21+。与》=一图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意;

x

把(8,1)代入y=-2x+a得：1=一16+〃，

解得：4=17,

A8<6t<17.

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关

系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据.

25.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的顶点A,B在X轴上，C(2,3),D(-l,3).抛物线

丫=加-2dx+c（a<0）与％轴交于点£1（一2,0）和点F.

（2）如图2,在（1）的条件下，连接C/，作直线CE,平移线段。尸，使点C的对应点P落在直线

CE上，点尸的对应点。落在抛物线上，求点。的坐标;

（3）若抛物线y=ad-2G*+c（4vO）与正方形ABCD恰有两个交点，求。的取值范围.

【答案】⑴尸一如+三川,尸（4,0）；

84

（2）（-4,-6）；

133

（3）——<。<0或——<a<——

358

【解析】

【分析】⑴将点C（2,3）,E（-2,0）代入弛物线y=ajc2-2ax+c,利用待定系数法求出抛物线的表达式,

再令）=0,求出“值，即可得到点尸的坐标；

（2）设直线8的表土式为产区+以将点C（2,3）,E（-2,0）代入解析式，利用待定系数法求出直线

CE的表达式为：y=-x+-,设点。1,一W产+.，+3｝根据平移的性质，得到点

pt-2--t2+-t+6,将点P代入y==x+=,求出，的值，即可得到点。的坐标；

I84J42

（3）根据正方形和点C的坐标，得出8C=3,08=2,0A=1,将E（—2,0）代入y=a^一2"+。，

求得），=以2一2公一8。=。（工一1）2-9。，进而得到顶点坐标（1,一9〃），分两种情况讨论：①当抛物线顶点

在正方形内部时，②当抛物线与直线8C交点在点C上方，且与直线AO交点在点0下方时，分别列出不

等式组求解，即可得到答案.

【小问1详解】

解：抛物线y=--2or+c过点C（2,3）,E（-2,0）

3

4〃一4。+。=3a=—

4〃+4"c=。’解得：8,

c=3

33

抛物线表达式为y=--x2+-x+3,

84

当y=0时，一己/+?x+3=o,

84

解得：*二-2（舍去），X2=4,

.一（4,0）；

【小问2详解】

解：设直线CE的表达式为'=履+》，

•・・直线过点C（2,3）,E（-2,0）,

3

Kf=—

2k+b=34

解得:

-2k+b=0z3

2

33

•・・直线CE的表达式为：y=-x+-,

42

33

•・•点。在抛物线y=—+二x+3上,

84

（33

，设点。乙一二/+：，+3

（84

・.・。（2,3）,网4,0）,且PQ由b平移得至九

（Q3

.・•点。向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点尸一2,入7+6

/33133

二.将Pt—2,—厂+—Z+6代入y=-x—,

I84；42

3/八\3323,

:.-(t-2)+-=——r+T+6,

4V7284

整理得：『=16，

解得：。=-4,q=4(舍去)，

3、,3

当x=-4时，y=--x(^)_+-x(^)+3=-6

。点坐标为(-4,-6)：

【小问3详解】

解：四边形ABCO是正方形，C(2,3),

BC=AB=3,03=2,

..OA-A/3-OB-\,

点A和点D的横坐标为-1,点8和点C的横坐标为2,

将七(一2,0)代入y=0^2-2ar+c,得:c--Sa,

/.y=ax1-2or-8«=a(x-l)"-9a»

・.・顶点坐标为(l,-9a),

①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点,

-9a<3

八八，解得:——<。<0；

-9a>03

②如图，当抛物线与直线3c交点点C上方，且与直线AO交点在点。下方时，与正方形有两个交点,

33

，解得：—<a<—

58

133

综上所述，〃的取值范围为---<4<0或------------.

358

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质,

函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分

类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.

26.在矩形A3CQ中，AB=2,AD=26点E在边上