2019届广西专用中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题7抛物线背景下的几何探究型(压轴题)讲义

专题综合强化第二部分专题七抛物线背景下的几何探究型(压轴题)第2

页例1如图，直线y＝－x＋3分别与x轴、y轴相交于A、B两点，经过A，B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的另一交点为C.(1)求抛物线的解析式；常考题型·精讲

类型1探究线段数量关系及最值的存在性(2018贺州T26；2017北部湾经济区T26；2016柳州T26；2018北部湾经济区T26；2018柳州T26；2018贵港T25；2017柳州T26.题型：解答．分值10～12分)第3

页据题意可得B(0,3)，A(3,0)，将A(3,0)，B(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，即可得到抛物线的解析式．☞

解题思路

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页(2)点D为线段AO上的一动点，过点D作x轴的垂线PD，PD分别与抛物线y＝－x2＋bx＋c，直线y＝－x＋3相交于P，E两点，设D的横坐标为m.在点D的运动过程中，求线段PE的最大值；由D的横坐标为m，用系数m表示出P，E的纵坐标，从而用系数m表示PE的长度，利用配方法求出PE的最大值．☞

解题思路

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页(3)在(2)的条件下，当PE＝AE时，求点P的坐标；☞

解题思路

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页(4)在(2)的条件下，当线段PE最长时，Q为PD上一点，是否存在BQ＋CQ的值最小的情况，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．☞

解题思路

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页(5)若M为抛物线对称轴上一动点，求△BCM周长的最小值及此时M的坐标；可得抛物线的对称轴为直线x＝1，由抛物线的对称轴可知．A，C两点关于直线x＝1对称．连接AB，则直线AB与直线x＝1的交点为M.此时，△BCM周长最小，由(2)(3)可得OC，OB，OA的长，由勾股定理可得BC，AB的长，得△BCM周长的最小值，将x＝1代入y＝－x＋3，即可得到M的坐标．☞

解题思路

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页(6)若M，N为抛物线对称轴上的两点(M在点N的上方)，且MN＝1，当四边形BCNM的周长最小时，求M，N的坐标．☞

解题思路

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页例2在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a＞0)上两个不同的点，其中A，B分别在第二、一象限内．(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求A、B两点的坐标；

类型2探究角度数量关系的存在性(2018桂林T26；2018玉林T26；2017河池T26；2017来宾T26；2016贵港T25，题型：解答，分值11～14分)第15

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解题思路

第16

页(2)在(1)的条件下，求抛物线的解析式；把点B的坐标代入y＝ax2，得a＝1，得到抛物线的解析式为y＝x2☞

解题思路

【解答】把B(1,1)的坐标代入y＝ax2(a＞0)，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2.第17

页(3)如图2所示，在(2)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，当∠AOB＝90°时，是否存在A，B两点的横坐标的乘积为常数？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由；☞

解题思路

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页(4)在(3)的条件下，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．设A(m，m2)，B(n，n2)．作辅助线由(3)得到mn＝－1.再联立直线m：y＝kx＋b与抛物线y＝x2的解析式，由根与系数关系得到mn＝－b，所以b＝1；由此得到OD，CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．☞

解题思路

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类型3探究特殊三角形的存在性(2018河池T26；2017贺州T26；2016河池T26；2016玉林防城港崇左T26；2016北海T26；2016梧州T26.题型：解答．分值：12分)1．二次函数与等腰三角形存在性问题(1)数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定．(2)函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用．第23

页(3)找动点使之与已知两点构成等腰三角形.第24

页2．二次函数与直角三角形存在性问题(1)直角三角形一般涉及勾股定理，注意勾股定理的正定理与逆定理；同时注意直角三角形的特殊角的三角函数的运用．(2)直角三角形与二次函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化，这类问题要注意平面直角坐标系的作用．(3)综合问题注意全等，相似，勾股定理，解直角三角形等知识的使用．第25

页(4)找动点使之与已知两点构成直角三角形.第26

页例3抛物线y＝ax2－2ax－3a(a<0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为M点，作MN⊥x轴，垂足为N.(1)若顶点M的纵坐标为4，求抛物线的解析式；根据顶点坐标公式用含a的代数式表示顶点坐标，当M的纵坐标为4时，求出a的值．☞

解题思路

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页【解答】可得M的坐标为(1，－4a)．当M的纵坐标为4时，可得－4a＝4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.第28

页(2)求AB的长；令ax2－2ax－3a＝0，解一元二次方程，求出x的值，利用x轴上两点之间距离公式求出AB的值．☞

解题思路

第29

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解题思路

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页(4)若直线BM与y轴相交于点C，当△COM为等腰三角形，求点M的坐标；根据M(1，－4a)，B(3,0)，两点坐标确定含系数a直线MB的解析式，分类讨论，当MC＝OM时，当OC＝OM时，当OC＝MC时，求出系数a的值，即得到M的坐标．☞

解题思路

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页设P的纵坐标为m，分情况讨论：当P在M的上方时，当P在M的下方时，分别求出点P的坐标．☞

解题思路

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页类型4探究特殊四边形的存在性(2018百色T26.题型：解答．分值：12分)1．解决平行四边形的存在性问题，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；第37

页(3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式组成方程组，由方程组的解为交点坐标的性质求解．2．对于特殊四边形的存在性问题，也常以探究菱形、矩形、正方形来设题，具体解决方法如下：若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：第38

页(1)探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式．(2)探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．(3)探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解．第39

页例4如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.(1)求直线BD的解析式；由点D是抛物线的顶点，利用二次函数顶点坐标公式求出点D的坐标，令－x2＋2x＋3＝0，求出x的值，即可得到A，B两点的坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式．☞

解题思路

第40

页第41

页(2)若H，K分别为抛物线，y轴负半轴上的点，且使四边形BDHK为平行四边形，求H的坐标；根据二次函数图象得到K的横坐标，四边形BDHK为平行四边形，由平行四边形的性质求出H的横坐标，将x＝－2代入y＝－x2＋2x＋3，得到H的坐标．☞

解题思路

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页【解答】如答图1，可得点K的横坐标为0.∵四边形BDHK为平行四边形，∴H的横坐标为－2，将x＝－2代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－(－2)2＋2×(－2)＋3＝－5，即H的坐标为(－2，－5)．第43

页(3)若H，K分别为线段BD与x轴上的点，将△BHK沿HK翻折，点B刚好落在抛物线的Q处，且四边形BHQK恰好为平行四边形，求H与B的水平距离；根据折叠的性质，可得BH＝HQ，四边形BHQK恰好为平行四边形，得出四边形BHQK为菱形，根据四边形BHQK为菱形的性质知QH∥x轴，设H的横坐标为a，表示出H的纵坐标，过点H作x轴的垂线，垂足为R，用系数a可得HR，BR的长度，由勾股定理可得BH2＝BR2＋HR2＝(3－a)2＋(－2a＋6)2＝5a2－30a＋45由HQ2＝BH2，求出a的值，从而求出H与B的水平距离．☞

解题思路

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页(4)点P(2，m)是线段BD上一点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，G，N为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．将(2，m)代入，可得m的值，即可得到点P的坐标，设点M的坐标为(n,0)，得到点G的坐标，以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形，则FM＝MG，解得n的值即可求出点M的坐标．☞

解题思路

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类型5探究面积数量关系及最值问题(2017桂林T26；2016百色T26.题型：解答．分值：12分)第48

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解题思路

第49

页(2)求直线BC的解析式；当y＝0时，求x的值，求得点A，点B的坐标；当x＝0时，代入解析式，求出点C

的坐标．设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B(8,0)，C(0,4)分别代入y＝kx＋b，求出直线BC的解析式．☞

解题思路

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页(3)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，点C重合)，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，交x轴于点H.M与抛物线顶点重合时，求△BCM的面积；☞

解题思路

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页(4)在第(3)问结论下，当MN将△BCM的面积分割为1∶2时，求点N的坐标；当CN∶BN＝1∶2时，MN将△BCM的面积分割为1∶2，此时，可得OH∶BH＝1∶2；当CN∶BN＝2∶1时，可得OH∶BH＝2∶1得到x的值，从而得到点N的坐标．☞

解题思路

第55

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页(5)在第(3)问结论下，是否存在一点M，使△MBC的面积最大？若存在，请求出△MBC的最大面积；若不存在，试说明理由．☞

解题思路

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页例6如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B(1,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OC＝3.(1)求抛物线的解析式；

类型6探究三角形相似的存在性(2016南宁T26；2018梧州T26.题型：解答．分值