2019届江苏专用高考数学一轮复习第三章三角函数3.2三角函数的图象和性质讲义

高考数学

(江苏省专用)§3.2三角函数的图象和性质1.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是

.A组自主命题·江苏卷题组五年高考答案7解析解法一:在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π]上的图象(如图).由

图象可知,共有7个交点.解法二:由sin2x=cosx⇒cosx=0或sinx=

,因为x∈[0,3π],所以x=

,

,

,

,

,

,

,故两函数图象的交点个数是7.2.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-

),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-

),a∥b,所以-

cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-

.又x∈[0,π],所以x=

.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-

)=3cosx-

sinx=2

cos

.因为x∈[0,π],所以x+

∈

,从而-1≤cos

≤

.于是,当x+

=

,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+

=π,即x=

时,f(x)取到最小值-2

.考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin

,则下面结论正确的是

.①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

个单位长度,得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的

,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

个单位长度,得到曲线C2;④把C1上各点的横坐标缩短到原来的

,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

个单位长度,得到曲线C2.B组

统一命题·省(区、市)卷题组答案④解析本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.y=sin

=cos

=cos

=cos

,由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的

,纵坐标不变;由y=cos2x的图象得到y=cos

的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移

个单位长度,故填④.方法总结(1)三角函数图象变换:①伸缩变换:将y=sinx图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,可得到y=sin

的图象;将y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asinx的图象.②平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x的

变化量.(2)解决三角函数图象变换题时,若两函数异名,则通常利用公式sinx=cos

和cosx=sin

将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.2.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin

的图象向右平移

个周期后,所得图象对应的函数为

.答案

y=2sin

解析该函数的周期为π,将其图象向右平移

个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin

2+

=2sin

.易错警示三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-

,而不是将2x变为2x-

.评析本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.3.(2016四川改编,4,5分)为了得到函数y=sin

的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点向

平移

个单位长度.答案左;

解析根据“左加右减”的原则可知,把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动

个单位长度可得y=sin

的图象.评析本题考查三角函数图象的平移变换.4.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin

的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点向

平移

个单位长度.答案右;

解析将y=sin2x的图象向右平行移动

个单位长度得到y=sin

=sin

的图象.解后反思将y=sin

化为y=sin

是解题的关键.5.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ

个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=

,则φ=

.答案

解析

g(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ).∵|f(x)|≤1,|g(x)|≤1,∴|f(x1)-g(x2)|≤2,当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2.不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k1π+

(k1∈Z),x2=k2π+

+φ(k2∈Z),∴|x1-x2|≥

=

.∵φ∈

,∴|x1-x2|≥

-φ.又∵|x1-x2|min=

,∴

-φ=

,即φ=

.评析本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生能

准确地画图并理解题意.属中等难度题.6.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin

的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数在区间

上单调递增.答案

(k∈Z)评析本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质,难度不大.解析函数y=3sin

的图象向右平移

个单位长度所得图象对应的函数为y=3sin

=3sin

.由2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

,k∈Z,得该函数的递增区间为

kπ+

,kπ+

(k∈Z).7.(2013湖北理改编,4,5分)将函数y=

cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是

.答案

ωx+φ0

π

2πx

Asin(ωx+φ)05

-508.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)

在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一

个对称中心为

,求θ的最小值.解析

y=f(x)=

cosx+sinx=2sin

,向左平移m(m>0)个单位长度后得f(x+m)=2sin

,图象关于y轴对称,令x=0,得

=2,从而m+

=2kπ±

,k∈Z,故m=2kπ+

或m=2kπ-

,k∈Z,又m>0,所以mmin=

.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-

.数据补全如下表:ωx+φ0

π

2πx

 πAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin

.(2)由(1)知f(x)=5sin

,得g(x)=5sin

.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-

=kπ,k∈Z,解得x=

+

-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点

中心对称,令

+

-θ=

,k∈Z,解得θ=

-

,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值

.1.(2017课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=

sin

+cos

的最大值为

.考点二三角函数的性质及其应用答案

解析∵f(x)=

sin

+cos

=

+

cosx+

sinx=

sinx+

cosx=

×2sin

=

sin

,∴f(x)的最大值为

.一题多解∵cos

=cos

=sin

=sin

,∴f(x)=

sin

,∴f(x)max=

.2.(2017课标全国Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为

.答案

解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可知f(x)=2cosx+sinx=

sin(x+φ)(tanφ=2),∴f(x)的最大值为

.3.(2017课标全国Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+

cosx-

的最大值是

.答案1解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可得f(x)=-cos2x+

cosx+

=-

+1.∵x∈

,∴cosx∈[0,1].∴当cosx=

时,f(x)max=1.4.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移

个单位长度,则平移后图象的对称轴为

.答案

x=

+

(k∈Z)解析将函数y=2sin2x的图象向左平移

个单位长度得到函数y=2sin2

=2sin

的图象,由2x+

=kπ+

(k∈Z),可得x=

+

(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=

+

(k∈Z).易错警示本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin

的图象.5.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2

sinxcosx(x∈R).(1)求f

的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin

=

,cos

=-

,f

=

-

-2

×

×

,得f

=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-

sin2x=-2sin

.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得

+2kπ≤2x+

≤

+2kπ,k∈Z,解得

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z.所以,f(x)的单调递增区间是

(k∈Z).6.(2015山东,16,12分)设f(x)=sinxcosx-cos2

.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f

=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=

-

=

-

=sin2x-

.由-

+2kπ≤2x≤

+2kπ,k∈Z,可得-

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z;由

+2kπ≤2x≤

+2kπ,k∈Z,可得

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z);单调递减区间是

(k∈Z).(2)由f

=sinA-

=0,得sinA=

,由题意知A为锐角,所以cosA=

.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+

bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+

,且当b=c时等号成立.因此

bcsinA≤

.所以△ABC面积的最大值为

.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识和基本方法,对

运算能力有较高要求.属中等难度题.1.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-

cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移

个单位长度得到.C组教师专用题组答案

解析函数y=sinx-

cosx=2sin

的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移

个单位长度得到.方法总结本题首先要将函数化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的形式再求解,另外要注意图象

平移的方向.评析本题考查了三角函数的图象平移及两角差的正弦公式的逆用,属于中档题.2.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图

象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移

个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α-β)=

-1.解析解法一:(1)将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2

cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移

个单位长度后得到y=2cos

的图象,故f(x)=2sin

x.从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+

(k∈Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sinx+cosx=

=

sin(x+φ)

.依题意知,sin(x+φ)=

在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当

<1,故m的取值范围是(-

,

).(ii)证明:因为α,β是方程

sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=

,sin(β+φ)=

.当1≤m<

时,α+β=2

,即α-β=π-2(β+φ);当-

<m<1时,α+β=2

,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2

-1=

-1.解法二:(1)同解法一.(2)(i)同解法一.(ii)证明:因为α,β是方程

sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=

,sin(β+φ)=

.当1≤m<

时,α+β=2

,即α+φ=π-(β+φ);当-

<m<1时,α+β=2

,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-

+

=

-1.评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、

抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数

形结合思想.3.(2013福建理,20,14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为

.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移

个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x0∈

,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由;(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点.解析(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω=

=2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为

,φ∈(0,π),故f

=sin

=0,得φ=

,所以f(x)=cos2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得到y=cosx的图象,再将y

=cosx的图象向右平移

个单位长度后得到函数g(x)=cos

的图象,所以g(x)=sinx.(2)当x∈

时,

<sinx<

,0<cos2x<

,所以sinx>cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在

内是否有解.设G(x)=sinx+sinxcos2x-2cos2x,x∈

,则G'(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sinx).因为x∈

,所以G'(x)>0,G(x)在

内单调递增.又G

=-

<0,G

=

>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在

内存在唯一零点x0,即存在唯一的x0∈

满足题意.(3)依题意得,F(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0.当sinx=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于

关于x的方程a=-

,x≠kπ(k∈Z).现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-

的解的情况.令h(x)=-

,x∈(0,π)∪(π,2π),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况.h'(x)=

,令h'(x)=0,得x=

或x=

.x

h'(x)+0--0+h(x)↗1↘↘-1↗当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞,当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2013=3×671,所

以依题意得n=671×2=1342.综上,当a=1,n=1342或a=-1,n=1342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点.填空题(每题5分,共25分)1.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研,8)函数y=tan

的单调增区间为

.三年模拟A组2015—2017年高考模拟·基础题组(时间：25分钟分值：25分)答案

,k∈Z解析由题意得kπ-

<x-

<kπ+

,k∈Z,得kπ-

<x<kπ+

,k∈Z,故答案为

,k∈Z.2.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin

的图象与y轴最近的对称轴方程是

.答案

x=-

解析由题意得2x-

=

+kπ(k∈Z)⇒x=

+

(k∈Z),因此与y轴最近的对称轴方程是x=-

.3.(2016江苏扬州中学月考,7)关于x的方程cos2x+4sinx-a=0有解,则实数a的取值范围是

.答案[-4,4]解析由cos2x+4sinx-a=0得a=cos2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5,因为-1≤sinx≤1,所以-4≤a≤4,即实数a的取值范围是[-4,4].4.(2016江苏常州武进期中,9)已知函数f(x)=2sin

,x∈

的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1<x2<x3,那么x1+2x2+x3的值为

.答案

解析∵0≤x≤

,∴

≤x+

≤

.∴-1≤sin

≤1.要满足直线y=m与f(x)的图象有三个交点,需1≤m<2,不妨令m=1,则sin

=

.∴x1=0,x2=

,x3=2π,∴x1+2x2+x3=

.5.(2015江苏无锡一模,10)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+

cos(ωx+φ)

的最小正周期为π,且满足f(-x)=f(x),则函数f(x)的单调增区间为

.答案

(k∈Z)解析

f(x)=sin(ωx+φ)+

cos(ωx+φ)=2sin

,由题意得

=π,∴ω=2.∵f(-x)=f(x),且|φ|<

,∴φ+

=

,φ=

,∴f(x)=2cos2x,由2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),得函数f(x)的单调增区间为

(k∈Z).一、填空题(每题5分,共15分)1.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)

的部分图象如图所示,现将函数y=f(x)的图象向右平移

个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为

.

B组2015—2017年高考模拟·综合题组(时间：30分钟分值：35分)答案

g(x)=sin

解析由题图得A=1,

T=

-

=

π,所以T=π=

,故ω=2,所以sin

=1,结合|φ|<

,得φ=

,所以f(x)=sin

,将f(x)的图象向右平移

个单位后得g(x)=sin

=sin

的图象,故g(x)=sin

.思路分析由图可知,A=1,

T=

-

=

π,从而得ω,由f

=1,结合|φ|<

可求得φ,从而得出f(x)的解析式,再利用图象变换可得函数g(x)的解析式.2.(2017江苏泰州中学第一学期期中,10)已知函数f(x)=

sin