高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教版A

2.5

等比数列的前n项和1.理解并掌握等比数列的前n项和公式及其推导方法.2.能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题.3.掌握等比数列的前n项和的性质及应用.等比数列的前n项和公式数列{an}是公比为q的等比数列,则当q=1时,Sn=na1;【做一做】

等比数列{an}的公比q=2,首项a1=2,则Sn等于(

).A.n2+n B.n2-nC.2n+1-2 D.2n-1答案:C1.等比数列的前n项和公式与函数的关系

Sn=-Aqn+A.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是关于n的指数型函数,而指数式的系数与常数项互为相反数;当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1是关于n的正比例函数.(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一群孤立的点;当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图象上的一群孤立的点.2.等比数列前n项和的性质剖析若等比数列{an}的公比为q,则有以下性质:(1)若某数列的前n项和公式为Sn=-A·qn+A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*),则此数列一定是等比数列.(2)在等比数列中,间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列.即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,公比为qn(q≠-1).(3)当总项数为2n时,S偶=qS奇.(5)Sn+m=Sn+qnSm.推导如下:设首项为a1,公比为q.若q=1,显然成立;此性质还可推导如下:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+…+an+m-1+an+m=Sn+a1·qn+a2·qn+a3·qn+…+am·qn=Sn+qn(a1+a2+…+am)=Sn+qnSm.(6)数列{an}为等比数列⇔Sn=Aqn+B(A=-B≠0).题型一题型二题型三题型四等比数列前n项和的有关计算问题【例1】

在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.分析已知an,Sn,q,可列方程组求a1和n.解得2n=64,则n=6.代入①,得a1=3.反思等比数列的前n项和公式中共有五个量:Sn,an,a1,q,n.“知三求二”是常见题型,常用解方程组的方法求得,解方程组消元的策略是将所得方程相除.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

在等比数列{an}中,(1)若q=2,S4=1,求S8;题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四等比数列前n项和性质的应用【例2】

在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析用求和公式直接求解或用性质求解.解法一∵S2n≠2Sn,∴q≠1.题型一题型二题型三题型四解法二∵数列{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),反思此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组,求出a1和q,再求解;这种方法思路自然清晰,但有时运算较为复杂.如果能联想相关性质,运用性质求解,可以提高解题速度,减少解题时间.特别是在客观题解答中,有时能起到事半功倍之效.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求出该数列的公比和项数.解设该等比数列为{an},∵项数是偶数,∴S偶=qS奇,∴85q=170,∴q=2.又Sn=85+170=255,∴2n=256,∴n=8.故公比q=2,项数n=8.题型一题型二题型三题型四实际应用问题【例3】

某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加(1)求n年内旅游业的总收入;(2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8000万元.分析(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列,再转化为求等比数列前n项和;(2)利用(1)的结论,转化为解不等式.题型一题型二题型三题型四解(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元,题型一题型二题型三题型四反思1.解数列应用题的具体步骤是:(1)认真审题,理解题意,达到如下要求.①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题,还是等比数列问题,还是递推数列问题?是求an,还是求Sn?特别要注意准确弄清项数为多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系,联想所学的数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量,并将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求的量联系起来,并根据题意列出数学关系式.2.价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型,即从实际背景中抽象出数学事实,归纳转化为数列问题去解决.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】

一个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.试问这个热气球上升的高度能超过125m吗?解用an表示热气球在第n分钟上升的高度,题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:求和时忽略公比是否为1致错【例4】

已知在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,a1=2,S3=6,求a3和q.错解由等比数列的前n项和公式,故a3=a1q2=2×(-2)2=8.错因分析在上面的求解过程中,没有讨论公比q是否为1,就直接题型一题型二题型三题型四正解若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,解得q=1(舍去