2019届江苏专用高考数学大一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法讲义理苏教版

§6.1数列的概念与简单表示法基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.数列的定义按照

排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的

.2.数列的分类知识梳理一定次序项分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数____无穷数列项数____有限无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1

an其中n∈N*递减数列an＋1

an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列><3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是

、

和

.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与

之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号n1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，知识拓展3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.(

)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(

)(3)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(

)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(

)(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)×√××√考点自测1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是

.(填序号)①数列a，a，a，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1，2，…，n}的函数值；④已知数列{an}，则数列{an＋1－an}也是一个数列.答案解析①②④题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1，2，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.答案解析答案解析答案解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝

.答案解析题型分类深度剖析题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1

(1)(2016·南京模拟)数列1，3，6，10，…的通项公式是

.答案解析观察数列1，3，6，10，…可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …答案解析由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.思维升华跟踪训练1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).解答解答解答各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3.因此把第1项变为

，题型二由an与Sn的关系求通项公式例2

(1)(2016·南通模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝

，则{an}的通项公式an＝

.答案解析(－2)n－1两式相减，整理得an＝－2an－1，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式.①Sn＝2n2－3n；解答a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②Sn＝3n＋b.解答a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式.∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.思维升华跟踪训练2

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为

.答案解析当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝

.答案解析由an＋1＝Sn＋1－Sn，得

Sn＝Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝

Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为

的等比数列，所以Sn＝()n－1.题型三由数列的递推关系求通项公式例3

根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；∵an＋1＝an＋ln(1＋)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2＋ln

n(n≥2).又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln

n(n∈N*).解答∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，(2)a1＝1，an＋1＝2nan；＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.又a1＝1适合上式，故an＝.解答∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1.(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解答已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列.(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列.(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解.(4)当出现

＝f(n)时，用累乘法求解.思维升华跟踪训练3

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2且n∈N*)，则an＝

.答案解析以上(n－1)个式子相乘得当n＝1时也满足此等式，∴an＝.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝

.当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.答案解析16题型四数列的性质命题点1数列的单调性例4

已知an＝

，那么数列{an}是

数列.(填“递减”“递增”或“常”)答案解析递增an＝1－

，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列.命题点2数列的周期性例5

数列{an}满足an＋1＝

，a8＝2，则a1＝

.答案解析∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.命题点3数列的最值例6

若数列{an}的通项an＝

，则数列{an}中的最大项的值是

.答案解析(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断.③结合相应函数的图象直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.思维升华答案解析∴{an}为周期数列且T＝4，∴a2015＝a503×4＋3＝a3＝.由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是

.0答案解析解决数列问题的函数思想思想与方法系列12典例

(1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·()n，则此数列的最大项是第

项.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是

.答案解析思想方法指导9或10(－3，＋∞)(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.(1)∵an＋1－an当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项.(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.课时作业所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝.答案解析123456789101112132.(2016·苏州模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R.当x<0，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立.若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，则a2015的值为

.根据题意，不妨设f(x)＝()x，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝

，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2015＝4029.答案解析4029123456789101112133.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是

.答案解析an＝n123456789101112134.若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2018＝

.∴数列{an}具有周期性，T＝6，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝3.答案解析312345678910111213∵an＋an＋1＝

，a2＝2，5.数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝

.答案解析123456789101112136.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝

.a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.答案解析10123456789101112137.数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝

.由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案解析1123456789101112138.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝

.当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.答案解析2n－112345678910111213*9.(2016·无锡期末)对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝

.因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.答案解析81234567891011121310.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2019项的乘积a1·a2·a3·…·a2019＝

.∴数列{an}是以4为周期的数列，而2019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，∴前2019项的乘积为1504·a1a2a3＝3.答案解析31234567891011121311.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝

，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；∵a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2).解答12345678910111213(2)判断数列{cn}的增减性.∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b