2019届浙江专版高考数学一轮复习第四章三角函数4.2三角函数的图象与性质讲义

§4.2三角函数的图象与性质高考数学考点一三角函数的图象及其变换1.y=sinx(x∈R)的图象:

知识清单

2.y=cosx(x∈R)的图象:

3.y=tanx

的图象:考点二三角函数的性质及其应用1.三角函数的基本性质2.正弦函数y=sinx图象的对称轴为直线⑤

x=kπ+

,k∈Z

,对称函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR①

值域[-1,1][-1,1]②

R

周期性最小正周期为2π最小正周期为2π最小正周期为π奇偶性③奇函数

④偶函数

奇函数单调性在

(k∈Z)上增,在

(k∈Z)上减在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上增,在[2kπ,2

kπ+π](k∈Z)上减在

(k∈Z)上增中心为⑥(kπ,0),k∈Z

.3.余弦函数y=cosx图象的对称轴为直线⑦

x=kπ,k∈Z

,对称中心为⑧

,k∈Z

.4.正切函数y=tanx图象的对称中心为

,k∈Z,渐近线为直线x=kπ+

,k∈Z.5.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的周期都是T=

.6.函数y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=

.7.三角函数的单调性(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ

看作一个整体,比如,由2kπ-

≤ωx+φ≤2kπ+

(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2kπ+

≤ωx+φ≤2kπ+

(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为减区间.(2)图象的对称性y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线x=xk

成轴对称;关于点(xk,0)(ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称.三角函数图象变换的解题策略1.在三角函数图象的变换过程中,一定要弄清哪一个是起始函数,哪一个

是目标函数.2.在平移变换中,可以通过关键点的平移来判断平移方向和距离.比如:

由函数y=sin

的图象平移得到函数y=sin

的图象,可分别令2x-

=0,2x+

=0,即相当于由点A

平移到点B

,即向左平移了

个单位.3.在伸缩变换中,对于横坐标的伸缩,可用三角函数的最小正周期来判断

伸缩的倍数;对于纵坐标的伸缩,可用三角函数的最值来判断伸缩的倍数.方法技巧方法1例1

(2017浙江名校协作体,4)为了得到函数y=sin

的图象,可以将函数y=sin

的图象

()A.向左平移

个单位长度B.向右平移

个单位长度C.向左平移

个单位长度D.向右平移

个单位长度D解题导引

把函数y=sin

改写成y=sin

→由平移变换得结论解析因为y=sin

=sin

,所以仅需将函数y=sin

的图象向右平移

个单位长度,即可得到函数y=sin

的图象,故选D.三角函数性质的解题策略1.周期性:求三角函数的最小正周期时,一般地,先经过恒等变换把三角

函数化为“y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”

的形式,再利用周期公式即可.2.奇偶性:首先判断定义域,若定义域关于原点对称,对于函数f(x)=Asin

(ωx+φ),φ=kπ(k∈Z)时f(x)为奇函数;φ=kπ+

(k∈Z)时f(x)为偶函数.对于函数f(x)=Acos(ωx+φ),φ=kπ(k∈Z)时f(x)为偶函数,φ=kπ+

(k∈Z)时f(x)为奇函数.3.单调性:三角函数单调区间的确定,一般先将三角函数式化为基本三角

函数的标准形式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解.对于复方法2合函数单调性的确定,应明确:由两个函数复合而成时,同增或同减则为

增,一增一减则为减,即同增异减.4.图象的对称性:判断函数f(x)=Asin(ωx+φ)(或g(x)=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>

0)的图象对称性的方法:当x=x0时,若f(x)(或g(x))取到最值,则f(x)(或g(x))

的图象关于直线x=x0轴对称;若f(x0)=0(或g(x0)=0),则f(x)(或g(x))的图象关

于点(x0,0)中心对称.例2

(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,18)已知函数f(x)=

sin2x-cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴;(2)当x∈

时,求f(x)的取值范围.解题导引

(1)利用辅助角公式把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式→由三角函数的周期性和对称性得结论(2)求出2x-

的范围→结合三角函数图象和性质得结论解析(1)f(x)=

sin2x-cos2x=2

=2sin

,所以函数f(x)的最小正周期为π.令2x-

=kπ+

(k∈Z),得x=

+

(k∈Z),故函数f(x)图象的对称轴方程为x=

+

(k∈Z).(2)因为x∈

,所以2x-

∈

,所以sin

∈

,所以f(x)的取值范围是[-1,2].评析

本题考查三角恒等变换,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象和

性质,考查推理与运算能力.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的解题策略由图象求解析式y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一般步骤:(1)由函数的最值确定A的值;(2)由函数的周期来确定ω的值;(3)由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于φ的方程,再由φ的范围

得φ的值,也可以由起始点的横坐标得φ的值.例3

(2017浙江湖州、衢州、丽水联考(4月),18)函数f(x)=2sin(ωx+φ)

的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y轴交于点F(0,

),与x轴交于点B,C,且△MBC的面积为π.方法3

(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f

=

,求cos2α的值.解题导引

(1)由三角形面积求得最小正周期,得ω的值→利用f(0)=

和φ的范围,求得φ→得f(x)解析式

(2)由条件得sinα的值→由二倍角公式得结论解析(1)因为S△MBC=

×2×BC=π,所