2019届泰安专版中考数学第一部分基础知识过关第三章函数及其图象第12讲二次函数讲义

第12讲实数及其运算泰安考情分析基础知识过关泰安考点聚焦总纲目录随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一二次函数的定义知识点二二次函数的图象和性质知识点四二次函数图象的平移知识点三二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图特征与系数a、b、c的关系

知识点五二次函数解析式的求法(必考考点)知识点六二次函数的实际应用(高频考点,复习重点,难点)知识点一

二次函数的定义一般地,形如①

y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)

的函数叫做二次函数,其中x是自变量,a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示

二次函数的一般形式的结构分析:(1)含自变量的代数式,是整式;(2)自变量x的最高次数为2;(3)二次项系数a≠0.知识点二

二次函数的图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0图象

三要素开口方向向上向下对称轴直线x=- 顶点坐标②

 - ,  

增减性在对称轴的左侧,即当x<- 时,y随x的增大而③

减小

;在对称轴的右侧,即当x>- 时,y随x的增大而④

增大

在对称轴的左侧,即当x<- 时,y随x的增大而⑤

增大

;在对称轴的右侧,即当x>- 时,y随x的增大而⑥

减小

最值抛物线有最低点,当x=- 时,y有最小值,y最小= 抛物线有最高点,当x=- 时,y有最大值,y最大= 2.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质

a>0a<0图象

开口方向向上向下顶点坐标(h,k)对称轴直线x=⑦

h

增减性在对称轴的左侧,即当x<h时,y随x的增大而⑧

减小

;在对称轴的右侧,即当x>h时,y随x的

增大而⑨

增大

在对称轴的左侧,即当x<h时,y随x的增大而⑩

增大

;在对称轴的右侧,即当x>h时,y随x的

增大而 

减小

最大值或最小值当x=h时,y有最小值,y最小=k当x=h时,y有最大值,y最大=k知识点三

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图特征与系数a、b、c的关系

符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bab>0(a、b同号)对称轴在y轴左侧b=0对称轴为y轴ab<0(a、b异号)对称轴在y轴右侧cc>0与y轴正半轴相交c=0经过原点c<0与y轴负半轴相交Δ=b2-4acb2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac<0与x轴没有交点知识点四

二次函数图象的平移1.平移步骤(1)将二次函数的一般式变形为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);(2)保持抛物线的形状不变,依据平移规律,平移顶点坐标(h,k)即

可.2.平移规律

知识点五

二次函数解析式的求法(必考考点)1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)若已知条件是图象上的三个点的坐标,则设为一般式y=ax2+bx+c

(a≠0),将已知条件代入,求出a、b、c的值,进而得到解析式.2.顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值或最小值,则

设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数的

值,进而得到解析式.3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设为交点式y=a

(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a的值,进而得到解析式.知识点六

二次函数的实际应用(高频考点,复习重点,难点)1.实际应用的类型(1)涉及拱桥、隧道、投篮等问题,一般情况下用待定系数法设二

次函数的顶点式解答.(2)涉及利润增长(或下降)等问题,一般情况下设总利润为y,根据

总利润y=单位利润×销售数量列函数关系式,求得函数最值.(3)涉及图形面积问题,以三角形为例,可设三角形的底边长为自

变量x,面积为函数S,根据三角形面积公式列函数关系式进而求解

实际问题.2.解答的一般步骤(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系;(2)列出函数关系式,并确定自变量的取值范围;(3)应用二次函数的图象及性质解决实际问题;(4)检验结果的合理性,看其是否符合实际意义.3.二次函数与几何知识的综合应用二次函数与几何知识的综合应用题型非常广泛,常见的类型有存

在性问题,动点问题,动手操作问题,关联知识点有方程,函数,三角

形,相似,四边形等,解决这类综合题,关键是分析题目中隐含的数

形结合思想,转化与化归思想,方程思想等建立数学模型,具体策

略如下:(1)存在性问题注意灵活运用数形结合思想,可以先假设存在,借

助条件求解.(2)动点问题通常利用数形结合,分类和化归思想,借助于图形,把握图形运动的全过程,选取特殊点作为研究的突破口,建立函数或者方程模型求解.泰安考点聚焦考点一二次函数的图象和性质考点二

二次函数图象的平移考点三

待定系数法求二次函数表达式考点四函数与方程(组)、不等式的关系考点五二次函数的应用考点一

二次函数的图象和性质中考解题指导常考题型归纳如下:题型一:确定二次函数图象上点的坐标题型二:确定二次函数图象的最值和对称轴题型三:根据二次函数的性质比较函数值的大小题型四:二次函数的图象和性质的综合考查考向1二次函数的图象及性质例1

(2017泰安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表:x-1013y-3131

有下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;

③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有

一个根大于4,其中正确的结论有(B)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个解析由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值,当x=

 = 时,函数取得最大值,∴抛物线的开口向下,故①正确;其图象的对称轴是直线x= ,故②错误;当x< 时,y随x的增大而增大,故③正确;∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根大于-1,小于0,∴方程的

另一个根大于2× =3,小于3+1=4,故④错误,故选B.变式1-1

(2018威海)如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球抛出的路线可以用二次函数y=4x- x2刻画,斜坡可以用一次函数y= x刻画,下列结论错误的是 (A)

A.当小球抛出高度达到7.5m时,小球与O点的水平距离为3m

B.小球与O点的水平距离超过4米后呈下降趋势C.小球落地与O点的水平距离为7米

D.斜坡的坡度为12解析当y=7.5时,7.5=4x- x2,整理得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5,∴当小球抛出高度达到7.5m时,小球与O点的水平距离为3m或5

m,A错误,符合题意;y=4x- x2=- (x-4)2+8,则抛物线的对称轴为x=4,∴当x>4时,y随x的增大而减小,即小球与O点的水平距离超过4米

后呈下降趋势,B正确,不符合题意; 解得  则小球落地点与O点的水平距离为7米,C正确,不符合题意;∵斜坡可以用一次函数y= x刻画,∴斜坡的坡度为12,D正确,不符合题意;故选A.变式1-2二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的

部分对应值如下表:x-1013y-1353有下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小,③3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;④当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0.其中正确的个数为 (B)A.4

B.3

C.2

D.1解析①易知二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,∴a<0;又x=0

时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故①正确;②∵二次函数y=ax2+bx+c图象的开口向下,且对称轴为x= =1.5,∴当x≥1.5时,y随x的增大而减小,故②错误;③∵当x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,

∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,故③正确;④∵当x=-1时,ax2+bx+c=-1,∴当x=-1时,ax2+(b-1)x+c=0,∵当x=3

时,ax2+(b-1)x+c=0,且函数有最大值,∴当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0,故④正确.故选B.考向2比较函数值的大小例2

二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是 (B)A.y1≤y2

B.y1<y2

C.y1≥y2

D.y1>y2

解析∵二次函数y=-x2+bx+c图象的对称轴为x=1,且开口向下,x1

<x2<1,∴y2>y1.变式2-1

(2017连云港)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(-1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是

 (C)A.y1>0>y2

B.y2>0>y1C.y1>y2>0

D.y2>y1>0解析抛物线y=ax2(a>0)的对称轴为x=0,且开口向上,-2<-1,∴y1>y2>0.考向3二次函数的图象与系数的关系例3

(2018滨州)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称

轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0;③b2-4ac<0;④当y>0时,-1<x<3,其中正确的个数是 (B)A.1

B.2

C.3

D.4解析∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,且图象

开口向下,∴x=1时,y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确;当x=-1时,a-b+c=0,故②错误;图象与x轴有2个交点,故b2-4ac>0,故③错误;∵图象的对称轴为x=1,与x轴交于点A、点B(-1,0),∴A(3,0),故当y>0时,-1<x<3,故④正确.故选B.变式3-1

(2018泰安)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反

比例函数y= 与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是 (C)

解析根据二次函数的图象开口向上,得a>0,根据对称轴在y轴的

左侧,得b>0,∴反比例在第一、三象限,一次函数图象过第一、

二、三象限,故选C.考点二

二次函数图象的平移例4将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单

位,那么得到的抛物线的解析式为

y=2(x+2)2-2

.解析根据抛物线的平移规律知,将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.变式4-1抛物线y=x2+4x+1可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平

移过程正确的是 (B)A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位解析∵抛物线y=x2+4x+1可转化为y=(x+2)2-3,∴把抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2-3,故选B.考点三

待定系数法求二次函数表达式例5如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标

为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B,求该抛物线的解析式.解析设抛物线解析式为y=a(x-2)2+9,∵抛物线与y轴交于点A(0,5),∴4a+9=5,∴a=-1,y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.变式5-1在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过B

(-2,6),C(2,2)两点.试求抛物线的解析式.解析由题意得 解得 ∴抛物线的解析式为y= x2-x+2.考点四

函数与方程(组)、不等式的关系例6若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为 (C)A.x1=-3,x2=-1

B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3

D.x1=-3,x2=1解析∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1,易知抛物线的对称轴为直线x=1,∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.变式6-1

二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1.若方程x2+bx-t=0

(t为实数)在-1<x<4上有解,则t的取值范围是 (C)A.t≥-1

B.-1≤t<3C.-1≤t<8

D.3<t<8解析∵抛物线的对称轴为x=1,∴- =1,∴b=-2,∴二次函数的解析式为y=x2-2x,即y=(x-1)2-1,方程x2+bx-t=0在-1<x<4上有解,等解y=x2-2x的图象与y=t的图象在-1<x<4时有交点,由y=x2-2x(-1<x<4)得-1≤y<8,即-1≤t<8.考点五

二次函数的应用例7

(2018滨州)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,

小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行

高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+2

0x,请根据要求解答下列问题.(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?解析(1)当y=15时,15=-5x2+20x,解得x1=1,x2=3,答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是1s或3s.(2)当y=0时,0=-5x2+20x,解得x3=0,x4=4,∵4-0=4,∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4s.(3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20,∴当x=2时,y取得最大值,此时y=20.答:在飞行过程中,小球飞行高度在第2s时最大,最大高度是20m.变式7-1

(2017济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)的关系为y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式;(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最

大销售利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不得高于42元,该商

店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定

为多少元?解析(1)w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800.∴w与x之间的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值,最大值为225.答:销售单价定为45元时,每天的销售利润最大,最大销售利润为2

25元.(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200,解得x1=40,x2=50.∵50>42,∴x2=50不符合题意,舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单

价应定为40元.一、选择题1.抛物线y=2x2-2 x+1与坐标轴的交点个数是 (C)A.0

B.1

C.2

D.3随堂巩固训练2.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,

然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式

是 (A)A.y=- - 

B.y=- - C.y=- - 

D.y=- + 3.(2018河北)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直

线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果

是c=1,乙的结果是c=3或4,则 (D)A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确二、填空题4.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,

则c的值为

.解析将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中,得4x=3x2+c,即3x2-4x+c=0.∵两函数图象只有一个交点,∴方程3x2-4x+c=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4×3c=0,解得c= .5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二

次方程-x2+2x+k=0的一个解为x1=3,则另一个解为x2=

-1

.解析因为二次函数图象为轴对称图形,根据图象,以x=1为对称

轴,与x轴的一个交点坐标为(3,0),所以另一个交点坐标为(-1,0),所以x2=-1.6.(2017日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与

x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,有下列结论:①抛物线过原点;②4a+b+c=0;③a-b+c<0;④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤当x<2时,y随x增大而增大.其中结论正确的是

①②④

.解析①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的

一个交点坐标为(4,0),∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(0,0),故

结论①正确;②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原

点,∴- =2,c=0,∴b=-4a,c=0,∴4a+b+c=0,故结论②正确;③∵当x=-1和x=5时,y值相同,且均为正,∴a-b+c>0,故结论③错误;④当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,∴抛物线的顶点

坐标为(2,b),故结论④正确;⑤观察函数图象可知,当x<2时,y随x增大而减小,故结论⑤错误.综上所述,正确的结论是①②④.三、解答题7.(2018江西)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植

某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入

市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销

售量y(千克)与销售单价x(元/千