2025年中图版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年中图版高一数学下册阶段测试试卷98考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A.m2B.m2+1C.2m2D.（m+1）22、函数y=ax+2（a＞0；且a≠1）的图象经过的定点坐标是（）

A.（0；1）

B.（2；1）

C.（-2；0）

D.（-2；1）

3、已知数列满足则的最小值为（A）（B）（C）（D）4、【题文】已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()．A.B.C.D.5、【题文】直线的倾斜角是A.30°B.120°C.60°D.150°6、直线l1：kx﹣y+2=0到直线l2：x+2y﹣3=0的角为45°，则k=（）A.﹣3B.-2C.2D.37、若2，a，b，c，9成等差数列，则c-a的值为（）A.2.5B.3.5C.1.5D.3评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题：①数域必含有两个数；②整数集是数域；③若有理数集则数集必为数域；④数域必为无限集；⑤存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是_______.（把你认为正确的命题的序号填填上）9、已知是等比数列，则公比______________．10、设集合A={x|-1＜x＜2}，则A∪B=____．11、五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a=____，这五个数的标准差是_________12、【题文】函数R)为奇函数，则____．13、【题文】将按从小到大的顺序排列是________________。14、【题文】一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_______________;15、下列结论：①函数y=和y=（）2是同一函数；②函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]，则函数f（3x2）的定义域为[0，]；③函数y=log2（x2+2x﹣3）的递增区间为（﹣1，+∞）；其中正确的个数____16、某学校高一年段共有480名学生，为了调查高一学生的学业水平，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为样本：将480名学生随机地从1～480编号，按编号顺序平均分成30组（1～16号，17～32号，，465～480号），若从第1组中用抽签的方法确定的号码为5，则第8组中被抽中的学生的号码是______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、作出下列函数图象：y=19、作出函数y=的图象．20、画出计算1++++的程序框图．21、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．23、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共2题，共20分)24、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．25、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分五、解答题(共3题，共15分)26、【题文】求函数的最小值。27、【题文】已知函数是定义域为的偶函数.当时，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是．28、某同学用“五点法”画函数的图象；先列表，并填写了一些数据，如表：

。ωx+φ0π2πx____________

__________________f（x）______________________________（1）请将表格填写完整；并画出函数f（x）在一个周期内的简图；

（2）写出如何由f（x）=sinx的图象变化得到的图象，要求用箭头的形式写出变化的三个步骤．评卷人得分六、综合题(共4题，共20分)29、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．30、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3；0）；B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D；求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．31、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．32、如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O2于点D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半径的长；

（2）求线段AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，利用勾股定理表示出AB、AP的长，再根据D是BC的中点，整理得到AB2-AP2=PB•PC，把AB=m代入求解即可．【解析】【解答】解：作AD⊥BC交BC于D；

AB2=BD2+AD2①

AP2=PD2+AD2②

①-②得：

AB2-AP2=BD2-PD2；

∴AB2-AP2=（BD+PD）（BD-PD）；

∵AB=AC；∴D是BC中点；

∴BD+PD=PC；BD-PD=PB；

∴AB2-AP2=PB•PC．

∴PA2+PB•PC=AB2=m2．

故选A．2、D【分析】

令x+2=0；解得x=-2；

此时y=a=1；故得（-2，1）

此点与底数a的取值无关；

故函数y=ax+2（a＞0；且a≠1）的图象必经过定点（-2，1）

故选D．

【解析】【答案】由指数函数的定义可知；当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x-1=0，解得x=1，y=2，故得定点（1，2）．

3、C【分析】试题分析：由an+1-an=2n可得a2-a1=2，a3-a2=4an-an-1=2n-2，以上n-1个式子相加可得，an-a1=2+4+6++2n-2=∴an=3+n（n-1）∴当且仅当n=6时取等号.考点：1.数列递推式；2.数列的函数特性．【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】如图所示：S△ABC＝×××sin60°＝

∴VABC­A1B1C1＝S△ABC×OP＝×OP＝∴OP＝

又OA＝××＝1；

∴tan∠OAP＝＝由∠OAP∈

得∠OAP＝【解析】【答案】B5、D【分析】【解析】本题考查了斜率与倾斜角之间关系。

解：设直线的倾斜角为

故选D【解析】【答案】D6、A【分析】【解答】直线l1：kx﹣y+2=0的斜率为k，直线l2：x+2y﹣3=0的斜率为﹣

则根据一条直线到另一条直线的角为45°可得tan45°=

解得k=﹣3；

故选：A．

【分析】先根据根据直线的方程求斜率，再利用一条直线到另一条直线的角的计算公式求得k的值。7、B【分析】解：∵2，a，b；c，9成等差数列；

∴2a=2+b，2c=9+b；

∴2a-2c=2-9=-7；

∴c-a==3.5；

故选：B．

利用等差中项的性质分别表示出a和c；作差即可．

本题主要考查了等差中项的性质的应用．解题的关键时表示出a和c．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】试题分析：因为故①正确；任意两个整数相除，商不一定都是整数，故②错误；若则就不是数域，故③错误；因为必为任意一个数域的子集，故数域必为无限集，故④正确；例如在数域中，可将换成其它的任意一个无理数，得到的集合都是数域，所以存在无穷多个数域，故⑤正确.综上正确的有①④⑤.考点：对及时定义的概念的理解和运用.【解析】【答案】①④⑤9、略

【分析】试题分析：∵等比数列{},∴．考点：等比数列基本量的计算．【解析】【答案】10、略

【分析】

集合A={x|-1＜x＜2}，

则A∪B={x|-1＜x＜2}∪=R；

故答案为R．

【解析】【答案】直接根据两个集合的并集的定义求出A∪B．

11、略

【分析】【解析】

因为五个数1，2，3，4，a的平均数是3，所以5*3=1+2+3+4+a,则a=5,则【（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2】/5=【解析】【答案】5，12、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意可知,函数的定义域为R,所以根据奇函数有所以

考点：奇函数性质.【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】可解得对称轴方程为由得所以【解析】【答案】14.815、0【分析】【解答】对于①，函数y==|x|（x∈R），和y=（）2=x（x≥0）的定义域不同；

对应关系也不同；∴不是同一函数，命题①错误；

对于②；函数f（x﹣1）的定义域为[1，2]；

即x∈[1；2]，∴x﹣1∈[0，1]；

∴f（x）的定义域是[0；1]；

令0≤3x2≤1，即0≤x2≤

解得﹣≤x≤

∴函数f（3x2）的定义域为[﹣]；命题②错误；

对于③，∵x2+2x﹣3＞0；即（x+3）（x﹣1）＞0；

解得x＜﹣3或x＞1；

∴函数y=log2（x2+2x﹣3）的递增区间是（1；+∞），命题③错误；

综上；正确的命题个数为0．

故答案为：0．

【分析】①根据两个函数的定义域相同；对应关系也相同，判断它们是否为同一函数；

②根据函数f（x﹣1）的定义域求出f（x）的定义域，再求函数f（3x2）的定义域即可；

③根据复合函数的单调性，判断函数y=log2（x2+2x﹣3）的单调区间即可．16、略

【分析】解：因为设第1组抽出的号码为5；

所以第8组应抽出的号码是（8-1）×16+5=117；

故答案为：117

根据题意可得在第1组中随机抽到的号码；根据组数与每组内的人数可得第8组抽取的号码．

抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样【解析】117三、作图题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．19、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．23、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共2题，共20分)24、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．五、解答题(共3题，共15分)26、略

【分析】【解析】解：可看作点

到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点

【解析】【答案】27、略

【分析】【解析】

试题分析：首先研究函数的性质，在和上是减函数，在和上是增函数，时，取极大值1，时，取极小值当时，因此方程有7个根，则方程必有两个根其中

由此可得所以

考点：偶函数的性质，曲线的交点与方程的根.【解析】【答案】28、略

【分析】解：（1）由

当=0时，可得x=f（x）=0；

当=时；可得x=2π，f（x）=2；

当=π时，可得x=f（x）=0；

当=时；可得x=5π，f（x）=-2；

当=2π时，可得x=f（x）=0；

简图如下：

（2）f（x）=sinx的图象变化得到的图象；

（2）函数f（x）=sinx

第一步：y=sinxy=sin（x-）

第二步：y=sin（x-）

→横坐标伸长原来的3倍，纵坐标不变可得y=sin（x-）

第三步：y=sin（x-）y=2sin（x-）

（1）根据ωx+φ=0，π，2π，依次求解出x，填入图框即可．

（2）根据“五点法”画函数图象即可．

（3）根据平移变换的规律即可得到．

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．【解析】2π；5π；0；2；0；-2；0六、综合题(共4题，共20分)29、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则∠POE+∠MOF=90˚；∠POE+∠EPO=90˚．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90˚；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM；交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．

∵∠MOF+∠OMF=90˚；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90˚；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴点N的坐标为（0；-5）．

设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则；

解得，∴直线的解析式为y=x-5；

联立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=；

∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

另一个交点K的坐标为（，-）；

∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．坐标为（，-）．30、略

【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S△CAEF=S四边形EFCB，根据NP∥CE，求出，设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴点C的坐标为（0；-3a）；

答：点C的坐标为（0；-3a）．

（2）当∠ACB=90°时；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO•OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范围为0＜a≤；

答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G；延长DC交x轴于点H，如图．

∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-3；0），B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴抛物线方程为y=ax2+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．

过B作BM⊥DH；垂足为M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值为1；

答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，，；

设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，

连接CE；过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线上，从而NP必与AC相交，设其交点为F，连接EF；

因为NP∥CE，所以S△CEF=S△CEN；

由已知可得NO=1，；而NP∥CE；

∴，得；

设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，则；

解得：；

即；①

同理可得过A、C两点的一次函数为；②

解由①②组成的方程组得，；

故在线段AC上存在点满足要求．

答：当∠ACB=90°，在线段AC上存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分，点F的坐标是（-，-）．31、略

【分析】【分析】（1）根据根与系数的关系；列出方程组解答；

（2）根据（1）中k的值解方程，求出AD和BC的长，然后根据相似三角形的性质解答．【解析】【解答】解：（1）根据题意列方程组得：解得；

即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分别代入方程x2-（k-2）x+2k=0中；

当k=12时原方程可化为x2-10x+24=0；

解得x=4或x=6；

∵3AB=2BC；∴AB=4，BC=6．

当k=时原方程可化为x2+x+=0，解得x=-或x=-1（不合题意舍去）．

故AB=4；BC=6；

∵△AED的面积是△DEM的高相同；

∴△AED的面积是△DEM面积的3倍则AE=3ME；设

ME=x；则AE=3x，设BM=y．

在Rt△AED与Rt△MBA中；∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故两三角形相似；

由勾股定理得AB2+BM2=16x2①，解得BM=；

即=，即=②；

整理得x4-4x2+4=0，解得x2=2，x=．