2025版高中数学课时作业8空间中直线与直线之间的位置关系新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业8空间中直线与直线之间的位置关系基础巩固1．若空间三条直线a，b，c满意a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．肯定平行 B．肯定相交C．肯定是异面直线 D．肯定垂直解析：因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.答案：D2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④解析：②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．答案：D3．三棱锥的对角线相互垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A．梯形 B.矩形C．平行四边形 D.正方形图1解析：如图1所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊eq\f(1,2)BD，HG綊EF綊eq\f(1,2)AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．答案：D4．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交解析：a与c不行能平行，否则由a∥b，得b∥c与b∩c＝A冲突．故选D.答案：D5．(2024年绵阳高一检测)若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不肯定平行解析：如图2甲，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，但OB与O1B不平行，故A、B解除；如图2乙，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故C解除．答案：D图36．如图3，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________.解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.答案：60°实力提升1．如图4，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()图4A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．答案：C2．(2024年安徽宿州十三校联考)在正方体ABCD­A1B1C1D1的全部面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有()A．1条 B．2条 C．3条D．4条解析：如图5，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，全部与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．又△AB1D1也是等边三角形，同理满意条件的又有2条，共4条，选D.图5答案：D3．如图6，在四面体S­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()图6A．相交 B．平行C．异面 D．以上都有可能解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.答案：B4．如图7所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45° B．60°C．90° D．120°图7

图8解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.答案：B5．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.则肯定成立的是________(填序号)．解析：因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°答案：③6．如图9，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满意条件________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满意条件________时，四边形EFGH是正方形．图9解析：由图易证：EF綊eq\f(1,2)AC綊HG，∴四边形EFGH为平行四边形，故当EF＝FG，即AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD7．如图10，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．图10解：(干脆平移法)如图11，图11连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接GA1，GC1，∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.拓展要求1.(2024年复旦高校自主招生)如图12，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()图12A．60° B．75°C．90° D．105°解析：图13设BB1＝1，如图13，延长CC1至C2，使C1C2＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以AC22＝AB12＋B1C22，则∠AB1C2＝90°.答案：C2．如图14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．图14解：如图15，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.图15又∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B