2024年沪教新版高三数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教新版高三数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、填空题(共9题，共18分)1、已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=____．2、写出函数y=|x-1|的单调增区间是____．3、设函数f（x）=，则f（f（-1））的值为____．4、以下所给的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，；则动点P的轨迹为双曲线；

②垂直于同一直线的两条直线相互平行；

③向量=（1，2）按=（1，1）平移得=（2；3）；

④双曲线与椭圆有相同的焦点．

⑤曲线x3-y3+9x2y+9xy2=0关于原点对称．

其中真命题的序号为____．（写出所有真命题的序号）5、设A（，0），B（0，），已知点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，则的最小值是____．6、若函数f（x）=1nx-ax2-2x存在单调减区间，则实数a的取值范围是____．7、已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的____条件8、在平面直角坐标系中，有椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．9、过点（3，1）作圆（x-2）2+（y-2）2=4的弦，其中最短的弦长为____．评卷人得分二、判断题(共6题，共12分)10、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．11、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）12、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）13、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）14、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．15、空集没有子集．____．评卷人得分三、证明题(共4题，共36分)16、用“充分；必要、充要”填空：

①p∨q为真命题是p∧q为真命题的____条件；

②￢p为假命题是p∨q为真命题的____条件；

③A：|x-2|＜3，B：x2-4x-15＜0，则A是B的____条件．17、设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是____

①若l⊥α；α⊥β，则l⊂β②若l∥α，α∥β，则l⊂β

③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β18、下面有5个命题：

①分针每小时旋转2π弧度；

②若；且x+y=1，则A，B，C三点共线；

③在同一坐标系中；函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；

④函数是奇函数；

⑤在△ABC中；若sinA=sinB，则A=B．

其中，真命题的编号是____（写出所有真命题的编号）19、对于集合{a1，a2，an}和常数a0，定义集合{a1，a2，，an}相对a0的“正弦方差W”：W=．

设集合A={，，}，证明集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ是一个与常数θ无关的定值评卷人得分四、作图题(共2题，共8分)20、已知函数，若关于x的方程f（x）-k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是____．21、已知：如图；在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．

（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；

（Ⅱ）若E是PD的中点；求异面直线AE与PC所成角的余弦值；

（Ⅲ）点G在线段BC上，且，求点D到平面PAG的距离．参考答案一、填空题(共9题，共18分)1、略

【分析】【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7；

∴，解得d=2，a1=1．

则S10=10+=100．

故答案为：100．2、略

【分析】【分析】根据绝对值函数的性质进行求解即可．【解析】【解答】解：当x≥1时；y=|x-1|=x-1，此时为增函数；

故函数的单调递增区间为[1；+∞）；

故答案为：[1，+∞）3、略

【分析】【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解析】【解答】解：函数f（x）=；

则f（-1）=；

f（f（-1））=f（）=log2=-2．

故答案为：-2．4、略

【分析】【分析】①设A、B为两个定点，k为非零常数，；利用双曲线定义可知：只有当k＜|AB|时，动点P的轨迹为双曲线；

②垂直于同一直线的两条直线可能相互平行；相交或为异面直线；

③向量=（1，2）按=（1，1）平移得到的仍然是向量；

④双曲线与椭圆有相同的焦点；

⑤把（-x，-y）代入曲线x3-y3+9x2y+9xy2=0得到曲线的方程没有变化，可得：此曲线的图象关于原点对称．【解析】【解答】解：①设A、B为两个定点，k为非零常数，；只有当k＜|AB|时，动点P的轨迹为双曲线，因此不正确；

②垂直于同一直线的两条直线相互平行；相交或为异面直线；因此不正确；

③向量=（1，2）按=（1，1）平移得到的仍然是向量，而不是=（2；3），因此不正确；

④双曲线与椭圆有相同的焦点；正确；

⑤把（-x，-y）代入曲线x3-y3+9x2y+9xy2=0得到-x3+y3-9x2y-9xy2=0，化为x3-y3+9x2y+9xy2=0；因此曲线的方程没有变化，可得：此曲线的图象关于原点对称．因此正确．

综上可知：只有④⑤正确．

故答案为：④⑤．5、略

【分析】【分析】利用截距式可得线段AB的方程，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解析】【解答】解：∵A（，0），B（0，），∴直线AB的方程为，∴点P（x，y）满足2x+3y=1．

∴==5+=．当且仅当，时取等号．

故的最小值是．

故答案为．6、略

【分析】【分析】首先分析求出函数的定义域，对f（x）求导可得，根据题意，有f′（x）≤0，变形可得a≥，结合x的范围，可得a＞-1可得答案；【解析】【解答】解：根据题意；函数定义域为{x|x＞0}；

；

已知函数存在单调递减区间；

由f′（x）≤0有解，即a≥有解；

又由，（x＞0）

故在（0；1）上递减，在（1，+∞）上递增；

则有

所以a＞-1；

故答案为（-1，+∞）．7、必要【分析】【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．【解析】【解答】解：由充要条件的定义；

如果A是B的充分条件；

那么B是A的必要条件．

故答案为：必要8、略

【分析】如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝OA，所以＝a，解得＝即e＝【解析】【答案】9、略

【分析】

根据题意得：圆心（2，2），半径r=2；

∵=＜2；∴（3，1）在圆内；

∵圆心到此点的距离d=r=2；

∴最短的弦长为2=2．

故答案为：2

【解析】【答案】由圆的方程找出圆心与半径；判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．

二、判断题(共6题，共12分)10、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．11、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×12、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×13、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√14、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×15、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．三、证明题(共4题，共36分)16、略

【分析】【分析】①由真值表可知若p∧q为真命题；则p；q都为真命题，从而p∨q为真命题，反之不成立，故由充要条件定义知，p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件；

②由￢p为假命题知；p为真，从而p∨q为真命题，反之不成立，从而得出答案；

③先得出|x-2|＜3⇔-1＜x＜5，x2-4x-15＜0⇔-+2＜x＜+2，根据不等式对应的集合的关系得出结合充要条件的有关定义得到结论．【解析】【解答】解：①∵p∨q为真命题；则p；q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题；

∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题；而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题。

∴p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件；

②由￢p为假命题知；p为真，从而p∨q为真命题，反之不成立，从而￢p为假命题是p∨q为真命题的充分条件；

③由于，故A：|x-2|＜3，B：x2-4x-15＜0；则A是B的充分条件．

故答案为：必要；充分；充分．17、③【分析】【分析】根据空间线面平行、线面垂直、面面平行和面面垂直的判定与性质，对四个选项逐个加以判断，可得正确答案．【解析】【解答】解：对于①；直线l与平面β，都与平面α垂直，它们的位置关系应该是l∥β或l⊂β，故①不正确；

对于②；直线l平行于平面β的平行平面α，则l∥β或l⊂β，故②不正确；

对于③；直线l与两个平行平面中的一个垂直，根据面面平行的性质，它必定与另一个平面也垂直，故③正确；

对于④，α⊥β设α、β的交线为m，直线l平行于m，满足l∥α，这时l与β平行，故④不正确；18、②④⑤【分析】【分析】根据正负角的定义，可以判断①的真假；根据向量法判断平面上三点共线的条件，可以判断②的真假；根据正弦函数的图象和性质，可以判断③的真假；根据函数奇偶性的定义，可以判断④的真假，根据正弦定理推论（边角互化），易判断⑤的真假；进而得到答案．【解析】【解答】解：分针每小时旋转-2π弧度；故①错误；

若；且x+y=1，则A，B，C三点共线，故②正确；

在同一坐标系中；函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③错误；

∵函数=，故是奇函数；故④正确；

在△ABC中；sinA=sinB⇔A=B，故⑤正确．

故答案为：②④⑤19、略

【分析】【分析】先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果为，为常数，原式得证．【解析】【解答】证明：集合A相对于任何常数θ的“正弦方差”μ

=

=

=

=；是一个与常数θ无关的定值．

原式得证．四、作图题(共2题，共8分)20、[0，1）∪（2，+∞）【分析】【分析】原问题可转化为函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得答案．【解析】【解答】解：关于x的方程f（x）-k=0有唯一一个实数根；

等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点；

在同一个坐标系中作出它们的图象可得：

由图象可知实数k的取值范围是[0；1）∪（2，+∞）

故答案为：[0，1）∪（2，+∞）21、略

【分析】【分析】法一：（Ⅰ）证明平面PDC内的直线CD；垂直平面PAD内的两条相交直线PA，AD即可证明CD⊥平面PAD，从而证明平面PDC⊥平面PAD；

（Ⅱ）E是PD的中点；设CD的中点为F，连接EF；AF，说明∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角，解三角形AEF，就可求异面直线AE与PC所成角的余弦值；

（Ⅲ）过点D作DM⊥AG于M．点G在线段BC上，且；说明线段DM的长是点D到平面PAG的距离，利用三角形面积求点D到平面PAG的距离．

法二：以A为原点；AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系；

（Ⅰ）利用证明CD⊥平面PAD．推出平面PDC⊥平面PAD．

（Ⅱ）利用直接求解即可．

（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q，说明线段DQ的长是点D到平面PAG的距离，利用2S△ADG=S矩形ABCD；

∴求出点D到平面PAG的距离为1．【解析】【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD；

∴PA⊥CD．（1分）

∵四边形ABCD是矩形；

∴AD⊥CD．

又PA∩AD=A；

∴CD⊥平面PAD．（3分）

又∵CD⊂平面PDC；

∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）

（Ⅱ）解：设CD的中点为F；连接EF；AF．

∵E是PD中点；

∴EF∥PC．

∴∠AEF是异面直线AE与PC所成角或