第二章 结构矩阵分析

第二章结构矩阵分析§2-1平面桁架（直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问题，位移法，可处理静定&静不定）p图２－１已知：p,A,E,(0,0)

,(a,a),(a,0)求桁架中各杆件的变形和内力

２xup②①③１３pyvq图２－２1.结构的离散化对结点及单元编号

每根杆为一个单元以①,②,③加以编号；取杆的铰接点为结点，以１、２、３加以编号（总体结点序号）

2.建立总体坐标系并确定结点坐标和自由度

以u,v分别表示沿

x,y方向的位移分量，

p,q分别表示力沿

x,y

轴的力分量（投影）。（x1,y1）=(0,0)、（x2,y2）=(a,a)、（x3,y3）=(a,0){u1，

v1}T

、{u2

，v2}T

、{u3，

v3}T{u1

v1

u2

v2

u3

v3

}T每个结点有两个自由度，对结点１、２、３分别为若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度为3.单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系）

取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i,j（单元内部的结点序号）。由材料力学可知，杆的轴向刚度为EA/L。其中Ｌ为杆的长度

xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α（１）单元局部坐标系

一般性的单元按如下方式建立一个局部坐标系：原点：与结点i重合,x’轴：沿

i,j方向,y’轴：与x’轴垂直。在单元局部坐标系中可以规定：结点自由度{u’iv’i}T，{u’jv’j}T

；单元结点自由度{

u’}＝{u’iv’iu’jv’j

}T。（２）局部坐标系中的单元刚度矩阵以p’i

,q’i

,p’j

,q’j

分别表示结点i,j作用于单元的力在x’,y’轴上的投影，由①号单元的静力平衡有（图2-3）有

xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α(2-1-1)矩阵的形式

(2-1-2)(2-1-3)若引入单元广义力矢量：其中则式（2-1-1）改写为：

称为局部坐标系中的单元刚度矩阵,它只与杆的几个参数E、A、L有关，与杆的方位无关。（３）坐标变换

为了研究结构整体的平衡，必须将结点给单元的力以及相应的单元刚度矩阵转换到统一的坐标系──总体坐标系。在总体坐标系中单元结点自由度{

u

}＝{uiviujvj

}T

结点给单元的力{r}＝{piqipjqj}T结点的位移分量的坐标变换为xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α单元的位移分量的坐标变换为(2-1-４)或缩写为

类似，{r’}

与{r}

之间的转换关系为(2-1-５)(2-1-6)(2-1-7)所以将（2-1-4）、（2-1-5）代入（2-1-2）有(2-1-8)(2-1-9)式（2-1-9）称为单元在总体坐标系中的单元刚度矩阵。(2-1-10)（４）单元刚度矩阵的具体形式单元①：(2-1-11)（i）单元刚度矩阵是对称矩阵

(ii)单元刚度矩阵是奇异矩阵（５）单元刚度矩阵的物理意义和特点平面桁架单元在总体坐标系中刚度矩阵的一般形式为

(2-1-8)令则即单元刚度矩阵的每一列相当于一组特定位移下的结点力

表2-1平面桁架单元刚度矩阵的物理意义单元结点位移作用于单元的结点力{1000}T{k11k21k31k41

}T{0100}T{k12k22k32k42

}T{0010}T{k13k23k33k43

}T{0001}T{k14k24k34k44

}Tk11k41k21k311jik12k42k22k321jik33k43k23jik131k44jk24ik34k141４.总体平衡方程总体刚度矩阵的组装p１２R3Y②①③１３R1X图２－５R1Y

作用于图2-5每个结点上的外载荷、支座反力以及来自单元的力应处于平衡

对结点１：对结点2：对结点3：(2-1-1４)(1)结点平衡条件结构的总体平衡方程(2)单元刚度矩阵的扩充

将每个单元的自由度扩充到与结构总体自由度相同（本例为６），并在单元刚度矩阵中补充零元素由单元①由单元②由单元③

(3)组装总体刚度矩阵(2-1-19)(2-1-20)桁架结构的总体刚度矩阵桁架结构的总体平衡方程实际采用的总刚阵组装方法

单元号单元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)①{u1v1u2v2}T1234②{u2v2u3v3}T3456③{u1v1u3v3}T1256

单元刚度矩阵中第s行第t列的元素kst加到总刚度矩阵的第LM(s)行LM(t)列即可。这一组装总体刚度矩阵的方法被形象的称为“对号入座”。

如果已选定各结点位移在结构总体自由度中的排列次序为{u1v1u2v2u3v3}T，对每个单元在形成单元刚度矩阵的同时还形成了个定位数组LM，它将指出单元自由度的各分量在总体自由度中的序号，如下表：u2v2２v3②①③１３u1v1u3单元号单元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)①{u1v1u2v2}T1234②{u2v2u3v3}T3456③{u1v1u3v3}T1256

单元刚度矩阵中第s行第t列的元素kst加到总刚度矩阵的第LM(s)行LM(t)列即可（4）引入位移约束条件(2-1-24)有限元方程5.解有限元方程6.求单元内力单元号单元结点位移内力（以拉为正）①②③

本节所讨论的桁架是一个十分简单的静定桁架，用理论力学的知识即可得到各杆的内力。但是，若桁架为超静定桁架且杆的数目有上千个，那么本节所讨论的方法原则上不会遇到任何困难，我们要解决的课题将转为如何管理有关的大量数据和如何解一个数千阶的代数方程组这样一些技术问题。

§2-2平面框架③2a①②az,θ,M4231（图2－６）y,v,qP

平面框架，示于图２－６。构成它的元件是梁。设外载荷P只作用于梁的刚结点上。求框架的变形和内力。x,u,p1.结构的离散化

取每根梁为一个单元，编号为①、②、③。取梁之间的刚结点为结点，以１、２、３、４对结点进行编号。

2.总体坐标系结点坐标和自由度结点坐标为:结构的结点总自由度为:

约束条件:非约束结点自由度为:

x’,u’,p’y’,v’,q’z’,θ’,M’αij（图２－７）3.单元分析（１）建立单元局部坐标系原点：与结点i重合；x’轴：沿i，j方向；y’轴：在xy平面内，与x’轴垂直；z’轴：与z轴一致。单元局部坐标系中，各结点自由度为:单元结点自由度:

（２）局部坐标系中的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的元素相当单元结点位移在六种位移模式:

~情况下的结点力。则u’将是x’的线性函数，v’是x’的三次函数，

利用材料力学知识不难求得梁的变形曲线和结点力

如果我们约定：（i）单元内弯曲刚度EI为常数；

(ii)单元只在端点受到外力；

(iii)不计剪切变形。表２－２平面梁单元的位移场和结点力序号结点位移和单元位移场结点作用于单元的力<1><2><3>ij1ij1radij表２－２平面梁单元的位移场和结点力序号结点位移和单元位移场结点作用于单元的力<4><5><6>ij1i1ji1radj由此求得平面梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵[k’](2-2-3)（３）坐标变换(2-2-４)每个单元有两个结点，单元结点自由度的转换关系为(2-2-５)单元刚度矩阵的变换公式为

(2-2-6)4.总体刚度矩阵和载荷向量的组装

利用（2-2-3）和（2-2-6）可求得单元①、②、③在总体坐标系中的单元刚度矩阵[k]1、[k]2、[k]3。总体载荷向量为

(2-2-7)有限元方程

5.非约束自由度结点位移(由（2-2-7解得）)

6.由结点位移求单元内力

(例如：轴力、剪力、弯矩，对空间梁单元还可求扭矩)

本节侧重讨论在组装刚度矩阵的过程中实现划行划列，即由[k]直接组装[K]的方法。对每个单元，根据（2-2-1）和(2-2-2)可形成一个数组LM，如下表所示：单元号单元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)LM(5)LM(6)①000123②123456③456000

每个LM数组有六个元素，分别与单元自由度中的各位移分量对应。当这个位移分量被约束时对应的LM元素取零；若这个位移属于非约束自由度，对应的LM元素取该位移在（2-2-1）中的序号，利用LM数组即可实现由[k]直接组装[K]。对于[k]的第s行第t列的元素kst，若LM(s)和LM(t)中至少一个为零，则对该元素不予组装（相当于划行划列）；否则将kst迭加入总刚度矩阵[K]的第LM(s)行第LM(t)列。§2-3平面应力问题常应变三角形单元ＢＡＣＤq③②④⑤①⑦⑥⑧q６９４７１８５２３t图２－８

图2-8为一边长为a、厚度为t的正方形薄板。其中AB边固定，BC、CD边自由，AD边作用均布压力q。对这一问题进行有限元分析。１.离散求解域将ABCD划分（离散）为８个三角形（单元），编号①—⑧。各单元仅在顶点（结点）铰接，结点编号1—9。建立坐标系后，不难定出各结点的坐标（xi,yi）。２.单元分析

任取一个一般性的单元，如图２－９所示。三个结点的编号为i,j,k。结点位移为(ui,vi

)、(uj,vj)、(uk,vk

)单元结点位移为y,v,qijk图（２－９）x,u,p(1)假定单元内位移场u,v

是x,y的一次函数(2-3-1)为待定常数，在结点处可解出

当

i,j,k的位置为逆时针排列时，2Δ恒正，且等于三角形单元面积的两倍。将这些结果代入（2-3-1）有单元内的位移场为形函数与结点位移的表达式(2-3-2)可以合并成（２）单元的应变、应力(2-3-3)(2-3-4)

[B]称为几何矩阵，在假定单元内位移场u、v是x,y的一次函数的前提下，几何矩阵中各元素均为常数。故单元内的应变和应力将是常数，这种单元又称为常应变三角元。（３）单元刚度矩阵[k]

为了在单元内构成均匀应力场，必须在单元的各边施加均布载荷，它们的合力一定作用在各边的中点，如图2-10(a)所示。图（２－10）(a)xyijkF1xF3xF2xF3yF1yF2yσxτxy0σy

再将各边上的合力平分到这边的两点结点，由图2-10(b)不难得出xyijk02-10(b)类似可求得

qi、pj、qj、pk、qk

并可合并写成(2-3-5)

根据单元刚度矩阵[k]的直观意义，常应变三角元的单元刚度矩阵即为

（４）结点载荷

单元①和②的边上作用着均布的外载荷，可以把它们的合力平分到两结点，如图2-11所示

①①44f1q8787f1②②41f