2025年中考数学几何模型归纳训练（全国）专题36 最值模型之逆等线模型解读与提分精练（原卷版）

专题36最值模型之逆等线模型最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 6模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 9模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 11模型5.最值模型-加权逆等线模型 14 19模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。证明思路：①AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF(SAS)；证出EF=CD；④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，，y与x的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的纵坐标是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD=CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为．

例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为．例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为，的最小值为．模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；③构造出△BEC≌△GFB(SAS)；证出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，．例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是．模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，求CD+CE的最小值。证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；③构造出△BEC≌△ADF(SAS)；证出CE=FD；④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为．

例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是．模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，求AF+AE的最小值。证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ABE≌△GDF(SAS)；证出AE=FG；④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的例2．动点，且，则的最小值是．例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为．模型5.最值模型-加权逆等线模型条件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=kAD，求AE+kCD的最小值。证明思路：①AD在△ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（构造一边一角，得相似）；③构造出△EBF≌△DAC(SAS)；证出EF=kDC；④AE+kCD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边中，，E，F分别是边、上的动点，且满足，则的最小值为；例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，、分别为、上的动点，且，则的最小值为．例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，，，，点E、F为对角线BD上的动点，，连接AE、CF，则的最小值为．例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是．1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．202．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且．（1）若，则；（2）的最小值为．

4．（2024·四川绵阳·三模）在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为．5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为．6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为；的最大值为．7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为2，E、F分别是对角线和边上的动点，满足．当时，线段的长度为．8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则．

9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为．10．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且满足，连接，，则的最小值是．11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为．12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形中，、分别是、边上的动点，且，若，则的最小值是．13．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，以点为直角顶点、为直角边向下作直角，且，连接，则的最大值是．

14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形中，，，E，F分别是上的动点，且，连接，当E为中点时，则；在整个运动过程中，的最小值为．15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．616．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为．17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小