第15讲-导数中的隐零点问题(高阶拓展)(学生版)

导数中的隐零点问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2020年新I卷，第21题,12分导数中的隐零点问题不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数求解函数基本问题2掌握函数零点存在性定理及其应用3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一,其源于含指对函数的方程无精确解,这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计,所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习知识讲解在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．解题步骤第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:（1）要么消除最值式中的指对项（2）要么消除其中的参数项;从而得到最值式的估计.2.隐零点的同构实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用:原理分析所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.考点一、隐零点综合问题1．（2020·山东·统考高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．2．证明3．求的极值4．已知函数，若,求的取值范围.1．已知函数，当且时,不等式在上恒成立,求的最大值.2．已知函数对任意的恒成立,其中实数,求的取值范围.3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，且.(1)求a；(2)证明：存在唯一的极大值点，且.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．(1)求实数的值；(2)当时，证明：．5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．【能力提升】1．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．(1)求；(2)证明：当时，．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数，是的导函数．(1)当时，求证：存在唯一的，使得；(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．4．（2023春·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知函数f(x)=-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.5．（2023春·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知函数，求：(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，总有，求整数的最小值.6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）7．（2021·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知函数，.（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.8．（2021秋·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数在处的切线方程(2)证明：在区间内存在唯一的零点；(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中学校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；(3)若不等式对任