福建省南平市光泽第三中学高三数学理月考试题含解析

福建省南平市光泽第三中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}中，a3=16，a4=8，则a1=（

）

(A)64

(B)32

(C)4

(D)2参考答案：A2.设集合，则＝（

）A．

B．

C．

D．R参考答案：B略3.将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值不可能是

（

）

A．4

B．6

C．8

D．12参考答案：B略4.已知等于

（

）

A．

B．7

C．

D．-7参考答案：答案：A5.的外接圆圆心为,半径为2，,且,方向上的投影为

A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是(

)A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是(

)7.已知点在抛物线的准线上，记抛物线C的焦点为F，则以原点为圆心，且与直线AF相切的圆的半径为（

）A. B.2 C. D.5参考答案：A【分析】由点A在抛物线的准线上，得出抛物线的焦点为F(2,0),可得出直线AF的方程，再根据直线与圆的相切的位置关系可求得圆的半径.【详解】因为点A在抛物线的准线上，所以抛物线的焦点为F(2,0),所以直线AF的方程为因为以原点为圆心,且与直线AF相切,所以所求圆的半径为，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的简单的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题.8.已知集合A={x|﹣1≤x≤1），集合B={x|x2﹣2x≤0），则集合A∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．（一∞，1]∪[2，+∞）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，∵A=[﹣1，1]，∴A∩B=[0，1]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9.设x、y满足约束条件，若目标函数（其中a>0,>0)的最大值为3,则的最小值为（

）(A)

3(B)

1(C)2

(D)

4参考答案：A略10.己知椭圆直线l过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离，利用弦长等于可构造关于的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为设直线方程为：，即则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离，整理得：椭圆的离心率为本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于的齐次方程.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

.参考答案：【答案解析】解析：因为，得，所以.【思路点拨】可对已知条件展开整理，并注意所求式子与已知条件整理后的式子之间的整体关系，即可解答.12.已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题．【分析】求导函数，确定切线的斜率，利用切线斜率为1，即可求得tanx0的值．【解答】解：求导函数，可得∵函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1∴∴∴∴∴tanx0=故答案为：【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查三角函数，属于中档题．13.曲线在处的切线的倾斜角为

.参考答案：答案：

14.已知2x＝3y＝6，则＝________.参考答案：115.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{an}，则________.参考答案：5252【分析】根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像：，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.若全集，则

参考答案：17.已知函数，无论t去何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是

．参考答案：[2，+∞）【考点】3F：函数单调性的性质．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】首先分析f（x）=x3﹣x，其单调区间．然后根据无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，判断f（x）=（2a﹣1）x+3a﹣4的单调性，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵y=﹣x2+3x的图象开口向下，∴y=﹣x2+3x总存在一个单调减区间，要使f（x）在R上总是不单调，只需令y=（2a﹣4）x+2a﹣3不是减函数即可．故而2a﹣4≥0，即a≥2．故答案为：[2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知（1）若，判断是否存在，使得，并说明理由；（2）设，是否存在实数，当…，为自然常数）时，函数的最小值为3？参考答案：(Ⅰ)不存在，使得；…………1分时,,定义域为,…………2分.…………3分极小值可以看出,当时,函数有极小值,此极小值也是最小值，故不存在，使得.…………6分(Ⅱ)

因为,,所以.…………7分假设存在实数，使有最小值,,…………8分①当时，，所以在上单调递减，（舍去）,…………9分②当时,(i)当时,，在上恒成立.所以在上单调递减，（舍去）,(ii)当时,，当时,，所以在上递减;当时,在上递增，所以,…………11分所以满足条件,综上，存在使时有最小值.…………12分19.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？参考答案：【知识点】离散型随机变量及其分布列.

K6【答案解析】（1）ξ的分布列为：03060240ξ的期望为34；（2）

解析：（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为,奖金的所有可能值为0,30,60,240.一等奖的情况只有一种，得奖金240元的概率为，三球连号的情况有1,2,3；2,3,4；8,9,10共8种情况，得奖金60元的概率，仅有两球连号中，对应1,2与9,10的各有7种，对应2,3；3,4；8,9各有6种，得奖金30元的概率，得奖金0元的概率-------------4分03060240

------------6分-------8分（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率为，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数故.-----------12分【思路点拨】(1)根据古典概型的概率公式，求得ξ取各值时的概率，从而得ξ的分布列，进而求得ξ的期望；（2）由(1)得乙一次抽奖中奖的概率为，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数，所以他得奖次数的方差是.20.已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足anbn=n，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，∴2（S3+a3）=S2+a2+S1+a1，∴=3a1+2a1q，化为4q2=1，公比q＞0，∴q=．∴an=．（2）∵anbn=n，∴bn=n?2n﹣1．∴数列{bn}的前n项和Tn=1+2×2+3×22+…+n?2n﹣1，2Tn=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n，∴﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n=﹣n?2n=（1﹣n）?2n﹣1，∴Tn=（n﹣1）?2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）记平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形ADCE是平行四边形，从而AE∥CD，由此能证明AE∥平面PCD．（2）连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，推导出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，从而PO⊥平面ABCD，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中点，∴AD∥CE，且AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，∵AE?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE∥平面PCD．解：（2）连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，则四边形ABED是正方形，∴AE⊥BD，∵PD=PB=2，O是BD中点，∴PO⊥BD，则PO===，又OA=，PA=2，∴PO2+OA2=PA2，∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（﹣），B（0，，0），E（），D（0，﹣，0），∴=（﹣），=（0，），=（0，），=（2，0，0），设=（x，y，z）是平面PAB的法向量，则，取x=1，得，设=（a，b，c）是平面PCD的法向量，则，取b=1