2023-2024学年上学期九年级数学上册期末模拟测试

2023-2024学年第一学期期末模拟测试一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.eq\f(1,3)cos30°的值是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(\r(2),6) C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),3)2．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝－2x－1 B．y＝2x2C．y＝eq\f(4,x) D．y＝ax2＋bx＋c3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得抛物线对应的函数表达式为()A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则cosA的值等于()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)5．已知反比例函数y＝－eq\f(2,x)的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系为()A．y1＜y2 B．y1＞y2C．y1＝y2 D．无法确定6．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOES△COB＝916，则DEBC为()(第6题)A．2∶3B．3∶4C．9∶16D．1∶27．下表中列出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x…－3－2－101…y…－11－5－111…A.－3＜x1＜－2 B．－2＜x1＜－1C．－1＜x1＜0 D．0＜x1＜18．二次函数y＝ax2＋bx－2(a≠0)的图象的顶点在第三象限，且过点(1，0)，设t＝a－b－2，则t的变化范围是()A．－2＜t＜0 B．－3＜t＜0C．－4＜t＜－2 D．－4＜t＜09．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2021A2022，过点A1、A2、A3、…、A2021、A2022分别作x轴的垂线，与反比例函数y＝eq\f(2,x)(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、…、P2021、P2022，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2021P2022A2022，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2021、S2022，则S2022的值为()A.eq\f(1,2022) B.eq\f(1,2021) C.eq\f(1,1011) D.eq\f(2,2021)(第9题)(第10题)10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是()二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知舞台AB长10m，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＞BP，那么报幕员应走________m报幕(结果保留根号)．12．已知eq\f(x,y)＝eq\f(5,2)，则eq\f(x－y,y)的值是________．13．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝________°.(第14题)14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F在边BC，CD上运动，且满足BE＝CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为________；当CG取最小值时，CE的长为________．三、解答题(本大题共9小题，共90分)15．(8分)计算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq\r(9)＋(π－4)0－sin30°.16．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝eq\f(3,4)，AC＝6eq\r(3)，求AB的长．(第16题)17．(8分)已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x的一些对应值如表：x…－101234…y＝ax2＋bx＋c…3－13…(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式为________；(2)填齐表格中空白处的对应值并利用表，用五点作图法，画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(不必重新列表)；(第17题)(3)根据图象回答：①当1≤x≤4时，y的取值范围是________________；②当x取什么值时，y＞0?18．(8分)如图，在12×12的正方形网格中，△CAB的顶点坐标分别为C(1，1)、A(2，3)、B(4，2)．(1)以点C(1，1)为位似中心，按21的位似比在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′.画出△CA′B′，并写出点A′、B′的坐标；(第18题)(2)在(1)中，若P(a，b)为线段AB上任一点，请直接写出变化后点P的对应点P′的坐标．19．(10分)已知：如图，△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.(第19题)20．(10分)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象交于点A(－2，－5)，C(5，n)，交y轴于点B，交x轴于点D.(1)求反比例函数y＝eq\f(m,x)和一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)连接OA，OC.求△AOC的面积．(第20题)21．(12分)“山地自行车速降赛”是一种新兴的极限运动．深受青年人的喜爱，赛道需全部是下坡骑行路段．如图是某一下坡赛道，由AB，BC，CD三段组成，在同一平面内，其中AB段的俯角是30°，长为2m，BC段与AB、CD段都垂直，长为1m，CD段长为3m，求此下坡路段的垂直高度．(结果保留根号)(第21题)22．(12分)某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数表达式y＝a(x－h)2＋k，二次函数y＝a(x－h)2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20.(1)试确定函数表达式y＝a(x－h)2＋k；(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；(3)在1～12月份中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？(第22题)23．(14分)在△ABC中，点P为边BC上一点，∠APD＝∠B，PD交边AC于点D.(1)如图①，若△ABC为等边三角形，求证：eq\f(BP,AB)＝eq\f(CD,CP)；(2)如图②，若∠APD＝45°，且∠PAD＝90°，AB＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(5)，求△APC的面积．(第23题)

答案一、1.C2.B3.B4.C5.A6．B7.C8.C9.A10．C点拨：由题意可得BQ＝xcm.①当0≤x≤1时，点P在BC边上，BP＝3xcm，则△BPQ的面积＝eq\f(1,2)BP·BQ，得y＝eq\f(1,2)·3x·x＝eq\f(3,2)x2；故A选项错误；②当1<x≤2时，点P在CD边上，则△BPQ的面积＝eq\f(1,2)BQ·BC，得y＝eq\f(1,2)·x·3＝eq\f(3,2)x；故B选项错误；③当2<x≤3时，点P在AD边上，AP＝(9－3x)cm，则S△BPQ＝eq\f(1,2)AP·BQ，得y＝eq\f(1,2)·(9－3x)·x＝eq\f(9,2)x－eq\f(3,2)x2；故D选项错误．故选C.二、11.(5eq\r(5)－5)12.eq\f(3,2)13.7014．2eq\r(5)－2；6－2eq\r(5)点拨：如图①，取AB的中点H，连接HG，HC，在△ABE和△BCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABE＝∠BCF＝90°，,BE＝CF，))∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE＋∠ABG＝∠CBF＋∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴HG＝eq\f(1,2)AB＝2，∵HG、HC不变，∴当点H、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，∵HC＝eq\r(HB2＋BC2)＝2eq\r(5)，CG的最小值为HC－HG＝2eq\r(5)－2，当CG取最小值时，H、G、C共线，如图②，过点G作GK⊥AB于点K，(第14题)∵∠GKH＝∠CBH＝90°，∴GK∥BC，∴∠HCB＝∠HGK，∴tan∠HCB＝tan∠HGK＝eq\f(HK,KG)＝eq\f(HB,BC)＝eq\f(1,2).设HK＝x，KG＝2x，∴HG＝eq\r(HK2＋KG2)＝eq\r(5)x，∴HG＝AH＝eq\r(5)x，∴AK＝AH＋HK＝(eq\r(5)＋1)x，∴tan∠KAG＝tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(KG,AK)＝eq\f(2x,（\r(5)＋1）x)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5)－1,2)×4＝2(eq\r(5)－1)，∴CE＝4－BE＝6－2eq\r(5).三、15.解：原式＝eq\f(1,2)－3＋1－eq\f(1,2)＝－2.16．解：过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC·sin30°＝3eq\r(3)，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tanB＝eq\f(3,4)，∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(3,4)，∴BD＝4eq\r(3)，∴AB＝AD＋DB＝9＋4eq\r(3).17．解：(1)y＝x2－4x＋3(2)如下表所示：x…－101234…y＝ax2＋bx＋c…830－103…函数图象如图所示：(第17题)(3)①－1≤y≤3②当x<1或x>3时，y>0.18．解：(1)如图，△CA′B′即为所求，其中A′(3，5)，B′(7，3)；(2)P′(2a－1，2b－1)．(第18题)19．证明：(1)∵△ABD∽△ACE.∴∠BAD＝∠CAE，∵∠BAD＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC；(2)∵△ABD∽△ACE，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC.20．解：(1)把点A(－2，－5)的坐标代入y＝eq\f(m,x)，得－5＝eq\f(m,－2)，解得m＝10，则反比例函数的表达式是y＝eq\f(10,x)，把x＝5代入，得y＝eq\f(10,5)＝2，则点C的坐标是(5，2)．根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝－5，,5k＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－3，))则一次函数的表达式是y＝x－3.(2)在y＝x－3中，令x＝0，解得y＝－3.则B的坐标是(0，－3)．所以OB＝3.因为点A的横坐标是－2，点C的横坐标是5.所以S△AOC＝S△AOB＋S△BOC＝eq\f(1,2)OB×2＋eq\f(1,2)×OB×5＝eq\f(1,2)×3×7＝eq\f(21,2).21．解：如图，延长AB与直线l2交于点E，过D作DF⊥BE，过A作AG⊥DE，易得FD＝BC＝1m，BF＝CD＝3m，∠FED＝30°，在Rt△DEF中，eq\f(DF,EF)＝tan30°，即EF＝eq\r(3)m，∴AE＝AB＋BF＋FE＝(2＋3＋eq\r(3))m＝(5＋eq\r(3))m，在Rt△AGE中，AG＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(5＋\r(3),2)m，则此下坡路段的垂直高度为eq\f(5＋\r(3),2)m.(第21题)22．解：(1)根据题意可得y＝a(x－4)2－16，当x＝10时，y＝20，所以a(10－4)2－16＝20，解得a＝1，所以函数表达式为y＝(x－4)2－16.(2)当x＝9时，y＝(9－4)2－16＝9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，又由题意可知，当x＝10时，y＝20，而20－9＝11(万元)，所以10月份一个月内所获得的利润为11万元．(3)设在1～12月份中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s万元，则有：s＝(n－4)2－16－[(n－1－4)2－16]＝2n－9，因为s是关于n的一次函数，且2>0，所以s随n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n＝12时，s＝15，所以12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．23．(1)证明：在△ABP中，∠B＋∠BAP＋∠APB＝180°，∵∠APD＝