2023年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）带解析

2023年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（每题3分，共36分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：∵，∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k，所以．故选D．2.下列说法中，正确的是（）A.三点确定一个圆 B.三角形有且只有一个外接圆C.四边形都有一个外接圆 D.圆有且只有一个内接三角形【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；D、圆有无数个内接三角形．故选B．点评：本题考查了确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．3.如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA，OB．∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°．∵OA=OB=2，∴AB==2．故选：C．4.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】解：∵抛物线的解析式为：，∴绕原点旋转180°变为，，即，∴向下平移3个单位长度的解析式为=．故选A．5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（

）A.2海里

B.2sin55°海里

C.2cos55°海里 D.2tan55°海里【答案】C【解析】【详解】试题分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．故选C．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．6.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【详解】解：连接CD，因，所以CD为直径，Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理得OD=4所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故选C．7.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交AC，BC于D，E两点，若AB=4，∠BED=120°，点E是BD中点，则图中阴影部分的面积是（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】连接OE、OD、AE．∵∠BED=120°，∴∠BAC=60°，∵，∴BE=ED，∵OB=OE=OD，∴△OEB≌△OED，∴∠OEB=∠OED=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，BE=EC=BC=2，∵OB=OE，∠ABC=∠BAC=60°，OA=OD，∴△OBE、△AOD、△ODE、△CDE都等边三角形，∴OB=BE=OE=2，OA=OD=AD=2，∠AOD=∠BOE=60°，∴∠EOD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴阴影部分的面积是=（扇形BOE的面积﹣三角形BOE面积）+（菱形OECD的面积﹣扇形OED的面积）=三角形CDE的面积=×22=.故选D．8.用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】列表如下：红红蓝红紫蓝紫紫共有9种情况，其中配成紫色的有3种，所以恰能配成紫色的概率=故选B．9.如图是某工件的三视图，则此工件的表面积为（）A.15πcm2 B.51πcm2 C.66πcm2 D.24πcm2【答案】D【解析】【详解】解:观察几何体的三视图可得该几何体为圆锥，如图所示，OB=3cm，OA=4cm，由勾股定理求得AB=5cm，所以圆锥的侧面积为×6π×5=15πcm2，圆锥的底面积为π×（）2=9πcm，即可得圆锥的表面积15π+9π=24πcm2，故答案选D.考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．10.已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：观察二次函数图象可知，图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；抛物线的对称轴a＞0．在反比例函数y=中可得ab＞0，所以反比例函数图象在第一、三象限；在一次函数y=ax+b中，a＞0，b＞0，所以一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限．故答案选B．考点：函数图像与系数的关系.11.如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于()A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°【答案】B【解析】【详解】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°故选B12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，∴﹣＜0，∴a、b同号，即ab＞0，①正确；②∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，∴﹣=﹣，∴a=b．∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，∴b+2c＞0，③错误；④∵当x=﹣时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a﹣2b+4c＞0，即a+4c＞2b，④正确．故选C．点睛：本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练应用二次函数的图象和性质进行判断推理是解题的关键.二、填空题（每题3分，共18分）13.若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α度数是_____．【答案】37°【解析】【详解】∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，∴锐角α=37°．故答案为：37°．14.在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角=_____．【答案】50°或130°【解析】【详解】根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=100°÷2=50°或180°﹣50°=130°．故答案为50°或130°.15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC沿BE折叠，使直角顶点C落在斜边上的点D处，则sin∠CBE的值为_____．【答案】【解析】【详解】在直角△ABC中，AB==10．BD=BC=6，AD=10﹣6=4，设CE=x，则AE=8﹣x，在直角ADE中，AE2=DE2+AD2，即（8﹣x）2=x2+16，解得：x=3．则CE=3，在直角△BCE中，BE==3，则sin∠CBE===，故答案为：．16.如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】2.9【解析】【详解】在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.17.如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点P是△OAB边界上一动点，当以点P为圆心，以2为半径的⊙P与y轴相切时，点P的坐标是_____．【答案】（2，0）或（1，）【解析】【详解】解：①当点P在线段OA上时，如果⊙P与y轴相切，则P（2，0）；②当点P在线段OB上时，如果⊙P与y轴相切，则P（1，）；故答案为：（2，0）或（1，）；点睛：本题考查切线、等边三角形、勾股定理等知识.画出圆与两轴分别相切时的图形，并用勾股定理进行求解是解题的关键.18.如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____．【答案】-1【解析】【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）；∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．三．解答题（共7道题，满分66分）19.计算：tan45°﹣（sin60°）2﹣+2cos30°．【答案】【解析】【详解】先求出特殊角的三角函数值，再按混合运算顺序进行计算即可.解：原式=1﹣（）2﹣+2×，=1﹣﹣（﹣1）+，=+1，=．20.小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？【答案】（1）详见解析（2）．（3）．【解析】【详解】试题分析：（1）分红灯、绿灯两种等可能情况画出树状图即可．（2）根据树状图得到总情况数和两次绿灯的情况数，然后利用概率公式列式计算即可得解．（3）根据红、绿色两种信号都遇到的情况数，利用概率公式列式计算即可得解．解：（1）根据题意画出树状图如下：一共有8种情况．（2）∵两次绿色信号的情况数是3种，∴P（两次绿色信号）=．（3）∵红绿色两种信号的情况有6种，∴P（红绿色两种信号）．21.如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）（1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；（2）在抛物线上存在点P，使△AOP的面积为10？求出点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．【解析】【详解】（1）把原点与A坐标代入解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；（2）由A与O坐标求出AO的长，根据三角形AOP面积为10，利用面积公式求出P纵坐标的绝对值为5，即P纵坐标为5或-5，把y=5或y=-5代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．解：（1）把（0，0）与（﹣4，0）代入得：，解得：a=﹣1，c=0，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x；（2）∵AO=4，S△AOP=10，∴|yP纵坐标|=5，即yP纵坐标=5或yP纵坐标=﹣5，把y=5代入抛物线解析式得：x2+4x+5=0，方程无解；把y=﹣5代入抛物线解析式得：x2+4x﹣5=0，解得x=﹣5或x=1，此时P坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．22.如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.(1)若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈1.7)．【答案】（1）11：00；（2）能，理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．【详解】解：(1)延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°.∵BC＝12km，AB＝36×＝24(km)，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°.∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12，∴所需时间t为＝(小时)＝20(分钟)，∴轮船照此速度与航向航行，上午11：00能到达海岸线；(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC.在Rt△BEC中，∵BC＝12km，∠BCE＝30°，∴BE＝6km，EC＝6km，∴CD＝2EC＝12≈20.4(km)．∵20＜20.4＜21.5，∴不改变航向，轮船可以停靠在码头．故答案为（1）11：00；（2）能【点睛】本题考查了方向角、解直角三角形等知识，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．23.旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【答案】（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．【解析】【详解】试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，∵y1随x的增大而增大，∴当x=100时，y1最大值为50×100﹣1100=3900；当x＞100时，y2=（50﹣）x﹣1100=﹣x2+70x﹣1100=﹣（x﹣175）2+5025，当x=175时，y2的最大值为5025，5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．考点：二次函数的应用．24.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：EF=CF；（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】（1）连接AD，若要证明EF=CF，则可转化为证明∠C=∠DEC即可.（2）将三角形函数值转化为边之比，再利用三角形的面积即可求解．（1）证明：连接AD，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∵AO=OB，∴OD=AC，OD∥AC，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴AC⊥DF，∵A、B、D、E四点共圆，∴∠DEC=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=DC，∴EF=CF；（2）Rt△ABD中，cos∠ABC==，∵AB=10，∴BD=6，AC=10，∴DC=BD=6，S△ACD=CD•AD=AC•DF，10DF=6×8，DF=，由勾股定理得：AF=．25.如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A，B两点，其中点B的坐标为（0，4），tan∠BAO=，一条抛物线的顶点为坐标原点，且与直线y=kx+b交于点C（m，8），点P为线段BC上一动点（不与点B，点C重合），PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q.（1）求直线和抛物线的函数关系式；（2）设点P的横坐标为t，线段PQ的长度为d，求出d与t之间的函数关系式，并求出d的最大值；（3）是否存在点P的位置，使得以点P，D，B为顶点