23.2　解直角三角形及其应用课时作业 2023-2024学年沪科版数学九年级上册

23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形作业1（基础性作业）1.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是 ()A.433B.4 C.83D.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边a=4,cosB=23,则斜边c的长为3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知∠B=60°,c=20,解这个直角三角形.

4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,那么∠B的度数为()A.60° B.45° C.30° D.15°5.在△ABC中,已知∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.若a=3,c=6,则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是 ()A.∠A=30°,∠B=60°,b=233 B.∠A=30°,∠B=60°,C.∠A=45°,∠B=45°,b=3 D.∠A=45°,∠B=45°,b=6作业2（发展性作业）1.已知等腰三角形的腰长为23,底边长为6,则底角的度数为 ()A.30° B.45° C.60° D.120°7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.若AC=62,∠C=45°,tanB=3,则BD等于 ()A.2 B.3 C.32 D.232.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=45,则BD的长度为()A.94 B.125C.154 3.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,且BE=2AE,已知AD=33,tan∠BCE=33,那么CE的长等于()A.23 B.33-2C.52 D.434.如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,cos∠ACB=223,则∠ABC的度数为5.[教材例2变式]在△ABC中,若∠B=45°,AB=102,AC=55,则△ABC的面积是.12.如图,AD是△ABC的中线,tanB=15,cosC=22,AC=求:(1)BC的长;(2)△ABD的周长.23.2解直角三角形及其应用第2课时仰角、俯角作业1（基础性作业）1.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为 ()A.30tanα米 B.30sinα米C.30tanα米 2.[教材例3变式]如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上.若测角仪的高度是1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是 ()A.55.5m B.54m C.19.5m D.18m3.如图，某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为 ()A.800sinα米 B.800tanα米C.800sinα米 D.8004.如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪高AD为1.5米,则铁塔的高BC为米.

5.如图,某楼房AB顶部有一根天线BE,为了测量天线的高度,在地面上取同一条直线上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点D,测得CD=5米,从点D测得天线底端B的仰角为45°,已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上,AB=25米.(1)求A与C之间的距离;(2)求天线BE的高度.(参考数据:3≈1.73,结果保留整数)作业2（发展性作业）1.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A.asinα+asinβ B.acosα+acosβC.atanα+atanβ D.atanα+2.某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°.若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)(

)A.23.0米 B.23.6米 C.26.7米 D.28.9米3.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(

)A.20米 B.103米C.153米 D.4.如图，某直升机于空中A处测得正前方地面控制点C的俯角为30∘；若航向不变，直升机继续向前飞行1000m至B处，测得地面控制点C的俯角为45∘.则直升机再向前飞行

m与地面控制点C的距离最近(结果保留根号)．5.[2020·阜阳太和县模拟]如图,某兴趣小组用无人机进行航拍测高,无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点B处垂直起飞到高度为50米的点A处,测得1号楼顶部E的俯角为60°,2号楼顶部F的俯角为45°.已知1号楼的高度为20米,则2号楼的高度为米(结果保留根号).

6.为减少交通事故的发生,某市在很多危险路段设置了电子监控仪.如图,在坡角为30°的公路BC上方的A处有一电子监控仪,一辆轿车行驶到C处,在同一平面内,由A处测得C处的轿车的俯角为15°,AB垂直于水平面且AB=10m,轿车由C处行驶到B处用了1s.如果该路段限速,车速不允许超过40km/h(约11.1m/s),请你求出该轿车的速度,并判断该司机是否超速行驶.(结果精确到0.1m/s.参考数据:2≈1.41,3≈1.73) 23.2解直角三角形及其应用第3课时方向角作业1（基础性作业）1.如图所示，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60∘方向上，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为(

)A.1502mB.1503mC.150m2.如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30∘，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60∘，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是(

)A.(4803+300)米 B.(9603+300)米

C.780米 3.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60∘方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45∘方向上的B处，这时轮船与小岛A的距离是(

)A.303

n mileB.60 n mile4.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为米(

)A.60(3+1)米 B.30(3+1)米

C.(90−303)5.如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我国海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时，发现灯塔A在军舰的正北方向500米处;当该军舰从B处向正西方向行驶到达C处时，发现灯塔A在军舰的北偏东60∘的方向上，该军舰由B处到C处行驶的路程为

米.6.如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60∘方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30∘方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，那么当轮船到达灯塔P的正南方时，轮船与灯塔P的距离约是__

_nmile.(精确到0.1nmile，参考数据：3作业2（发展性作业）1.已知一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63∘方向航行，另一艘轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57∘方向航行，离开港口1小时后，两船相距(

)A.83海里 B.85海里 C.16海里 D.2.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF//MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10 m.则河的宽度为m(

)A.40 B.

103C.

30+103 D.3.如图，建筑工地划出了三角形安全区(△ABC)，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距 (tan53°=43)(

)A.3015m B.3017mC.4.如图，一艘船由A港沿北偏东65∘方向航行302km至B港，然后沿北偏西40∘方向航行至C港，C港在A港北偏东20∘方向，则A，C两港之间的距离为kmA.30+303 B.30+10C.10+303 D.5.一船向东航行，上午9:00到达灯塔C的西南60n mile的A处，上午10:00到达灯塔C的正南的B处.则这艘船的航行速度为

n mile/ℎ(结果保留根号)．6.如图所示，一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东68．7∘的方向上有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26．5∘的方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近?(结果精确到1海里.参考数据：sin21．3∘≈925，tan21．3∘≈7.如图，海面上产生了一股强台风.台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29∘方向上，台风中心沿北偏东60∘方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200(1)过点B作BP⊥AC于点P，求∠(2)据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响(假设台风在移动过程中风力保持不变).问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响⋅请说明理由.(参考数据：sin31∘≈0.52，cos31 23.2解直角三角形及其应用第4课时坡度作业1：（基础性作业）1.已知某水库的拦水坝斜坡的坡度为1:3，则这个拦水坝的坡角为(

)A.30∘ B.45∘ C.60∘2.如图，在数学兴趣小组的探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA=α，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为(

)A.50sinα米 B.50C.50tanα米 D.3.如图，滑雪场有一坡角为20∘的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的垂直高度AB的长为(

)A.200tan20∘米 B.C.200sin20∘米 4.如图，梯形护坡石坝的斜坡AB长8m，坡高BC为4m，水平距离AC=43m，则斜坡AB的坡度是(

)A.1:1 B.1:3C.1:2 D.1:5.如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡AB的坡度为1:0.75，那么该堤坝迎水坡AB的长度为

米.6.如图，某小型水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，DC/​/AB，测得迎水坡的坡角为30∘.已知背水坡的坡度为1.2∶1，坝顶宽为2.5m，坝高为4.5m，求它的坝底宽AB和迎水坡BC的值(精确到作业2：（发展性作业）1.如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4米，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是米．(

)

A.4+4cos40° B.4+4sin40∘ C.4+42.如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45∘，则调整后的楼梯AC的长为(

)A.23

mB.26

C.(23−2)m3.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1:2，物体从地面沿着该斜坡从A到B前进了10米，那么此时物体离地面的高度为(

)A.5米 B.53米C.25米D.4.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=35米,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端点B与点A有一条彩带相连,若AB=10米,则旗杆BC的高度为()A.5米 B.6米C.8米 D.(3+5)米5.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山，坡上面是一块平地.BC//AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12:5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过50∘时，可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移

m时，才能确保山体不滑坡.(取tan50∘6.如图，小明在距离地面30米的P处，测得A处的俯角为15∘，B处的俯角为60∘.若斜坡坡度为1:3，则斜坡AB的长是

米三、解答题7.如图所示，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400m，高8m，背水坡的坡角为45∘的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案如下：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2m，加固后，背水坡EF的坡比i=1:2．(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长．(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．8.沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12米，斜坡CD的坡度i=1:1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP=26∘．

(1)求斜坡CD的坡角α;

(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求?(参考数据：sin26∘≈0.44，tan26∘23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形1.D[解析]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,∴cosB=BCAB,即cos30°=BC8,∴BC=8×32=432.6[解析]由余弦的定义,得cosB=4c=23,解得c=3.解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-60°=30°,∴a=12c=12×20∴b=c2-a2=24.C5.C6.A[解析]如图,在△ABC中,AB=AC=23,BC=6,过点A作AD⊥BC于点D,则BD=3.在Rt△ABD中,cosB=BDAB=323=32,1.A[解析]∵AC=62,∠C=45°,∴AD=AC·sin45°=62×22=6∵tanB=3,∴ADBD=∴BD=AD3=2故选A.2.C[解析]∵∠C=90°,AC=4,cosA=45∴AB=ACcosA∴BC=52-4∵∠DBC=∠A,∴cos∠DBC=cosA=BCBD=4∴BD=3×54故选C.3.D[解析]∵tan∠BCE=33,∴∠BCE=30°.设AE=x,则BE=2x,∴AB=3x,BC=4∵S△ABC=12BC·AD=12AB·CE,∴CE=BC·AD4.30°[解析]如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ACD中,∵AC=3,cos∠ACB=223,∴CD=AC·cos∠ACB=3×223=22,则AD=AC∵AB=2,∴sinB=ADAB=1∴∠ABC=30°.5.75或25[解析]如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,AD=AB·sinB=10,BD=AB·cosB=10.在Rt△ACD中,AD=10,AC=55,∴CD=AC2∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5,∴S△ABC=12BC·AD=75或256.解:(1)如图,作AH⊥BC于点H.在Rt△ACH中,∵cosC=22=CHAC,AC=∴CH=1,∴AH=(2)2在Rt△ABH中,∵tanB=AHBH=1∴BH=5,∴BC=BH+CH=6.(2)∵BD=CD,∴CD=3,∴DH=2,∴AD=12+2在Rt△ABH中,AB=BH2+AH∴△ABD的周长=3+5+26.第2课时仰角、俯角问题1.C[解析]在Rt△ABO中,tanα=OAOB,∴OA=OB·tanα=30tanα(米).故选C2.C[解析]如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30°,∴∠ADE=30°.∵BC=DE=183m,∴AE=DE·tan30°=18(m),∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5(m).故选C.3.D[解析]由题意可知AC=800米,∠ABC=α,故AB=800tanα米4.(1.5+150tanα)[解析]过点A作AE⊥BC,垂足为E.由题意得AE=CD=150米.在Rt△ABE中,tanα=BEAE=BE150,∴BE=150tanα(米),∴BC=BE+CE=(1.5+150tanα)米.故答案为(1.5+150tanα5.解:(1)由题意得在Rt△ABD中,∠ADB=45°,∴AD=AB=25米.∵CD=5米,∴AC=AD+CD=25+5=30(米),即A与C之间的距离是30米.(2)在Rt△ACE中.∠ACE=60°,AC=30米,∴AE=30·tan60°=303(米).∵AB=25米,∴BE=AE-AB=303-25≈1.73×30-25≈27(米).即天线BE的高度约为27米.1.C[解析]∵在Rt△ABC中,BC=AB·tanα=atanα.在Rt△ABD中,BD=AB·tanβ=atanβ,∴CD=BC+BD=atanα+atanβ.故选C.2.C

【解析】解：如图所示：

过点B作BN⊥AE，BH⊥DE，CM⊥DE，

垂足分别为：N，H，M，

∵i=1：2.4，AB=26米，

∴设BN=x，则AN=2.4x，

∴AB=2.6x，

则2.6x=26，

解得：x=10，

故BN=EH=10米，CN=10+1.6=11.6米，

则tan30°=CNNE=11.6NE，

解得：NE=11.6×33米，

∴CM=11.6×33米，

所以在直角三角形CDM中，tan37°=DMCM，

所以3.A

【解析】解：∵点G是BC中点，EG/​/AB，

∴EG是△ABC的中位线，

∴AB=2EG=30米，

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，

则BC=ABtan∠BAC=30×33=103米，

如图，过点D作DF⊥AF于点F，

在Rt△AFD中，AF=BC=103米，

则FD=AF⋅tanβ=103×334.2077m

【解析】解：根据题意画出示意图，

其中AE为莲花峰的海拔高度，BD为天都峰的海拔高度，∠ABC=1∘29'，

∵AE=1864m，BD=1810m

∴AC=AE−BD=54m，

在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC，

则BC=ACtan∠ABC=545.(50-103)[解析]如图,过点E作EG⊥AB于点G,过点F作FH⊥AB于点H.则四边形ECBG,HBDF都是矩形,∴EC=GB=20米,HB=FD.∵B为CD的中点,∴EG=CB=BD=HF.由已知得∠AEG=60°,∠AFH=45°.在Rt△AEG中,AG=AB-GB=50-20=30(米),∴EG=AGtan60°=303=∴HF=103米.在Rt△AHF中,AH=HF·tan45°=103(米),∴FD=HB=AB-AH=(50-103)米.故答案为(50-103).6.解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵坡角为30°,且AB垂直于水平面,∴∠ABC=60°.在Rt△ABD中,∵AB=10m,∠ABD=60°,∴BD=AB·cos∠ABD=5(m),AD=AB·sin∠ABD=53(m),∠BAD=30°.∵∠MAC=15°,∴∠CAD=∠BAM-∠BAD-∠MAC=45°,∴CD=AD=53m,∴BC=(5+53)m.∵轿车从C处到B处的行驶时间为1s,∴轿车的速度是(5+53)m/s≈13.7m/s.∵40km/h≈11.1m/s<13.7m/s,∴该司机超速行驶.答:该轿车的速度约为13.7m/s,该司机超速行驶.第3课时方向角问题1.【答案】C

【解析】解：由题意得，

∠AOB=90∘−60∘=2.【答案】A

【解析】如图，过C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．

∵∠BCA=∠EBC−∠BAC=30∘，

∴∠BAC=∠BCA．

∴BC=BA=960米．

在Rt△BEC中，sin∠EBC=CEBC，

∴CE=BC⋅sin60∘=960×323.【答案】D

【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，

易知∠ACD=30∘，∠BCD=45∘，AC=60 n mile．

在Rt△ACD中，AD=12AC=30 n mile，cos⁡∠ACD=CDAC，

∴CD=AC⋅cos⁡∠ACD=60×32=303(nmile)．

4.【答案】B

【解析】解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，

设BD=x米，

∵∠BCA=30°，

∴CD=BDtan30∘=3x米，

∵∠BAD=45°，

∴AD=BD=x米，

则3x−x=60，

解得x=603−15.【答案】50036.【答案】20.8

1.【答案】A

【解析】解：设以16海里/时的速度行驶的轮船从港口A出发向北偏东

63∘方向航行，1小时后到达B处，AD表示从港口A出发向南偏东

57∘方向航行的航向，

过点B作BC⊥AD于点C，

由题意得，AB=16海里，∠BAC=180∘−63∘−57∘=60∘，

在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，

∴AC=AB⋅cos∠BAC=8(海里)，

∴以8海里/时的速度行驶的轮船同时从港口2.【答案】C

【解析】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，

设CK=HB=x，

∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，

∴∠CAK=∠ACK=45°，

∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，

∴HD=x−30+10=x−20，

在RT△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，

∴tan30°=HD BH∴3解得x=30+103∴河的宽度为(30+103故选C．3.【答案】B

【解析】解：如图，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，过C作CF⊥AD，CE//AD，BE//AG，则∠CEB=90°，∴∠GAC=∠ACF=∠EBC=∠BCF=53°，AC=50，BC=100，∵tan53°=∴在直角三角形ACF和直角三角形BCE中，结合勾股定理可得AF=40，CF=DE=30，FD=CE=80，BE=60，∴AD=120，∴根据勾股定理可得AB=故选B．

4.【答案】B

【解析】根据题意，得∠CAB=65∘−20∘=45∘，∠ACB=40∘+20∘=60∘，AB=302km．

如图，过点B作BE⊥AC于点E，

∴∠AEB=∠CEB=90∘．

在Rt△ABE中，

∵∠EAB=455.【答案】302【解析】解：示意图如图：

∵∠ACB=45°，∠B=90°，AC=60n mile，

∵sin∠ACB=ABAC，

∴AB=AC·sin45°=60×sin45°=302n mile，

∴这艘船的航行速度为3026.【答案】解：如图所示，过点C作AB的垂线，交直线AB于点D，

得到Rt△ACD与Rt△BCD.设BD=x海里．由题意，得∠CBD=90∘−26．5∘=63．5∘，在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD，

∴CD=x⋅在Rt△ACD中，AD=AB+BD=(60+x)海里，tanA=CDAD，

∴CD=(60+x)⋅∴x⋅tan63．5∘=(60+x)⋅tan21．3∘答：轮船继续向东航行约15海里，距离小岛C最近．

7.【答案】解：(1)∵∠MAC=60∘，∠MAB=90∘又∵BP⊥AC，

∴∠APB=90∘，

又∵∠CBN=29∘，∠ABN=90∘∴∠PBC=∠ABC−∠ABP=59(2)不会受到影响.理由如下：由(1)可知，∠PBC=59∘，

又∵tan31∘≈0.60设BP=x海里，则AP=3x海里，∴3x+53x=200，

解得∴沿海城市B不会受到台风影响．

第4课时坡度问题1.【答案】A

【解析】解：∵某水库的拦水坝斜坡的坡度为1:3，

∴设这个拦水坝的坡角为α，则tanα=13=32.【答案】D

【解析】解：∵PA⊥PB，

∴∠APC=90∘，

∵PC=50米，∠PCA=α，

∴ta