一阶微 分方程

一阶微分方程一、可分离变量的微分方程本章讨论的主题是求解微分方程.如上节例1求不定积分就是解一个最简单的微分方程=f(x)，但是，在解微分方程=x2+y2时，如果直接积分，就得不出任何结果.本节开始，我们讨论一阶微分方程y′=f(x,y)的一些解法.一、可分离变量的微分方程定义5

形如=f(x)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程.若设G(y),F(x)分别为［g(y)］－1和f(x)的原函数，则G(y)=F(x)+C(C为任意常数)为所求得的通解，我们也称之为隐式通解.我们称这种解微分方程的方法为分离变量法.一、可分离变量的微分方程曲线上任意点M(x,y)处的切线垂直于该点与原点的连线,求此曲线方程.解设曲线方程为y=y(x),如图12－2所示.【例5】图12－2一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程求微分方程

的通解.解把微分方程分离变量得ydy=－xdx，

两边积分得(r为任意常数)，即x2+y2=r2为所给微分方程的通解.【例6】一、可分离变量的微分方程一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢，随着小树越长越高，小树长得越来越快，但长到某一高度后，小树的生长会保持稳定的速度，然后会再慢慢降下来.如何为小树的生长过程建立数学模型？分析如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合小树前期与后期的生长情形；如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间―段的生长过程.因此，假定它的生长速度既与目前的高度成对比，又与最大高度和目前高度之差成正比.【例8】一、可分离变量的微分方程解设树生长的最大高度为H(m)，在t(年)时的高度为h(t)，则有其中k是比例常数且k>0.这个方程称为Logistic方程.它是可分离变量的一阶常微分方程.下面来求解Logistic方程.分离变量,得一、可分离变量的微分方程两边积分一、可分离变量的微分方程函数h(t)的图形称为Logistic曲线.图12-3所示的是一条典型的Logistic曲线，由于它的形状，一般也称为S曲线.可以看到，它基本符合前面描述的树的生长情形.另外还可以计算得到这说明树的生长有一个限制，因此也称为限制性增长模式.生物种群的繁殖、信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等都符合这种规律.图12-3二、齐次方程(12-5)二、齐次方程这是可分离变量的方程，把它改写成二、齐次方程解方程【例9】二、齐次方程三、一阶线性微分方程形如+P(x)y=Q(x)(12-6)的方程称为一阶线性微分方程.其中函数P(x)，Q(x)是区间I上的连续函数.当Q(x)≡0时，方程(12-6)变为+P(x)y=0，(12-7)这个方程称为一阶齐次线性微分方程，相应地，方程(12-6)称为一阶非齐次线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶齐次线性方程(12-7)是可分离变量的方程，分离变量，得(12-8)三、一阶线性微分方程(12-9)三、一阶线性微分方程这个解与一阶齐次线性微分方程的通解(12-8)相比较，易见其表达形式一致，只需将式(12-8)中的常数C换为函数C(x).由此引入求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法，即在求出对应齐次方程的通解(12-8)后，将通解中的常数C变为待定函数C(x)，并设一阶非齐次方程的通解为三、一阶线性微分方程(12-10)三、一阶线性微分方程求方程的通解.【例11】一般情况下，在解微分方程过程中，C均为满足方程的任意常数，在以后的叙述和解题过程中不再说明.注三、一阶线性微分方程求方程的通解.解法1(常数变易法)由例7知对应的齐次方程的通解为y=C(1+x)2，所以用常数变易法，把任意常数C换成任意待定函数C(x)，即令y=C(x)(1+x)2，则有=C′(x)(1+x)2+2C(x)(1+x)，将y,y′代入原方程得C′(x)=1，两边积分得C(x)=x+C.故所求非齐次微分方程的通解为y=(x+C)(1+x)2.【例12】三、一阶线性微分方程解法2(公式法)因为P(x)=,Q(x)=(1+x)2，将其直接代入公式得三、一阶线性微分方程求方程的解.分析函数tany是x的复合函数，由复合函数求导法则知(tany)′=y′sec2y.故令u=tany，则原方程可转化为一阶非齐次线性方程.解令u=tany，则原方程可化为【例13】三、一阶线性微分方程于是，通解为三、一阶线性微分方程若所给的方程从直观形式上不是所学的类型，则需作变量代换将其转化成我们所能解的类型，这是解方程的一种常用方法.但做什么样的变换则需要结合方程的特点进行考虑，并在练习中注意观察和思考，不断积累经验.注*四、伯努利方程形如+P(x)y=Q(x)yn(12－11)的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n≠0，1.伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性方程.在方程(12－11)两端除以yn，得(12-12)*四、伯努利方程求方程