常数项级数课件

常数项级数常数项级数人们认识事物在数量方面的特性，往往是一个由近似到精确的过程,在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题.例如，约在公元前300年，中国古代经典著作《庄子·天下篇》中提出过如下命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果用数学方式来表示此命题，可以写作此式说明常数1可以用来表示，即无穷多项的连加.常数项级数又如，计算半径为R的圆面积A，具体做法如下：作圆的内接正六边形，算出这个六边形的面积a1，它是圆面积A的一个粗糙的近似值.为了比较准确地计算出A的值，我们在这个六边形的每个边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和a2.那么a1+a2(即内接正十二边形的面积)就是A的一个较好的近似值.同样的，在这个正十二边形的每个边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二等腰三角形的面积之和a3.那么a1+a2+a3(即内接正二十四边形的面积)是A的一个更好的近似值.如此继续下去，内接正3×2n边形的面积就逐步逼近圆的面积：常数项级数A≈a1，A≈a1+a2，A≈a1+a2+a3，…，A≈a

1+a2+a3+…+an.如果内接正多边形的边数无限增多，则n无限增大，a1+a2+a3+…+an的极限就是所求的圆面积A.这时和式中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子.一般地，我们给出如下定义.常数项级数定理1设有序列u1，u2，u3，…，un，…，则称u1+u2+u3+…+un+…为无穷级数，简称级数，记为

，即其中第n项un称为级数的一般项.我们称un是常数的级数为常数项级数.常数项级数是一个常数项级数，其中通项为1n.此级数通常称为调和级数.【例1】是一个常数项级数，其中通项为arn－1.此级数称为公比为r的等比级数，又称为几何级数.【例2】常数项级数【例3】

是一个通项为1np的常数项级数，称它为p级数.调和级数、等比级数和p级数是以后经常用到的级数，请注意识记.级数是无穷多项和的形式.怎样理解无限项相加得到的和呢？结合以上计算圆面积的例子，可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，从而便可理解无穷多项相加的含义.先看级数前n项的和Sn=u1+u2+u3+…+un，常数项级数称Sn为级数

的前n项和.当n依次取1,2,3,…时，就得到一个数列

S1,S2,S3,…,Sn,…，数列{Sn}就称为级数

的部分和数列.常数项级数定义2如果级数

的部分和数列{Sn}有极限，即

则称级数

收敛，S称为该级数的和，记作常数项级数如果级数

的部分和数列{Sn}极限不存在，则称该级数是发散的.当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值.它们的差S－Sn=rn称为级数的余项，且余项rn=S－Sn=un+1+un+2+….用级数的部分和Sn作为级数和S的近似值，其绝对误差就是rn.常数项级数【例1】常数项级数常数项级数性质1常数项级数性质2常数项级数性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.证只证明“改变级数的前面有限项不会改变级数的收敛性”，其他两种情况容易由此结果推出.设有级数(11-1)(11-2)常数项级数性质4在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛，且其和不变.常数项级数若添加括号所得到的级数收敛，则不能断定去括弧后原来的级数也收敛.例如，级数1－1+1－1+…是发散的，而级数(1－1)+(1－1)+…却是收敛的.注常数项级数推论若加括号后所成的级数发散，则去括后级数也发散.常数项级数性质5常数项级数推论【例6】常数项级数【例7】常数