麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组位移电流一、前面讨论了麦克斯韦关于随时间变化的磁场要在周围空间激发感生电场的理论，按照对称性的思想，随时间变化的电场也应该在空间激发磁场.麦克斯韦在研究这个问题的过程中提出了位移电流假说.既然变化的磁场可以产生电场，那么变化的电场会给我们一些什么新的启发呢?与变化的电场有联系的，就是电容器的充、放电过程.下面具体研究平行板电容器的充电过程.利用这一过程不但可以研究变化的电场，还可以直接把电场与电流联系起来.电流(或运动电荷)激发磁场，揭示磁场与电流之间关系的基本规律是磁介质中的安培环路定理.磁场强度H沿闭合回路的线积分等于穿过以L为边界的曲面的传导电流的代数和，即现在把此式应用于一个含有电容器的回路，如图10-26所示.设电容器充电过程中某一瞬间的电流为I，其随时间而变化.在正极板附近，选择一个环绕导线L的回路，作以L为边界的曲面S1和S2，S2在两极板之间.图10-26电容器的充电过程对于曲面S1来说，

∮LH·dl=I对于曲面S2来说，

∮LH·dl=0由于传导电流不连续造成电容器极板上的电荷面密度随时间变化，充电时增加，放电时减少，因而两极板间形成变化的电场.设电容器极板的面积为S，其上的电荷面密度为σ，由于单位时间内通过导线横截面的电量即是极板上电荷的变化率，因此极板上的电量随时间的变化率与导线中的电流强度相等，即极板上传导电流密度的大小为而平行板电容器极板间电场的电位移矢量的大小等于极板上的电荷面密度，即D＝σ则有

（10-17）

再考虑一下方向，由图10-27（a）可以看到，当电容器充电时，极板上的电荷面密度σ增大，但仍然与极板上的jc同向.所以，式(10-17)可以写为矢量式(10-18)图10-27电容器充、放电电路由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图10-26所示电路中电流的连续性问题.麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量相联系，所以称为位移电流.通过某曲面的位移电流强度等于通过该曲面的电位移通量对时间的变化率，即(10-19)

位移电流密度为(10-20)位移电流与传导电流在磁效应方面是等价的，但物理含义却不同.传导电流起源于自由电荷的定向运动，而位移电流与变化的电场相联系；传导电流一般在导体中存在，而无论在导体、介质还是真空中，只要有变化的电场就存在位移电流；传导电流通过导体时有焦耳热产生，而位移电流没有这种热效应.全电流定律二、引入位移电流的概念后，在电容器极板处中断的传导电流I被位移电流使电路中的电流保持连续不断.麦克斯韦提出，一般情况下电流由传导电流和位移电流两部分组成，称为全电流，即I全=Ic+Id

(10-21)

在上述非闭合、非稳恒电流的电路中，全电流Ic+Id是保持连续的.安培环路定理应修正为(10-22)或(10-23)在式(10-23)中，S为以L为边界的曲面.此式的物理含义是，H沿任意闭合回路的环流等于通过此闭合回路所围面积的全电流，称为全电流安培定律，简称全电流定律.这个定律比安培环路定理更具有普遍性，它是麦克斯韦方程组中的方程之一.这个规律揭示出不仅传导电流激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁场的性质却完全相同.引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电流.于是对S1:∮LH·dl=I全=I这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾结果了.对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移电流Id流出S2，所以

（10-24）式（10-24）就是全电流连续性方程.麦克斯韦方程组的积分形式三、人类对电和磁现象的认识可以追溯到公元前6世纪.但是两千多年以来，一直处于定性的初级阶段，电磁学形成一门完整的学科，是在18世纪制作出一些较精密的仪器后，经过大量科学实践，才总结出库仑定律、安培安律、电磁感应定律等一系列规律.又推动了生产力的发展，为技术革新创造了条件.在这种历史背景下，麦克斯韦在总结前人成就的基础上，着重从场的观点研究了电磁现象的内在统一性，极富创见地提出了关于感生电场和位移电流的假说，建立了完整的宏观电磁场理论.麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.由静电场与稳恒磁场性质的规律，可知静电场与稳恒磁场分别从高斯定理和环路定理的角度描述了场的性质.（1）静电场的高斯定理SD·dS=VρdV=q，说明静电场是有源场.

（2）静电场的环路定理∮LE·dl=0，说明静电场为保守力场、无旋场、有势场.（3）磁场的高斯定理SB·dS=0，说明磁场是涡旋场、无源场.（4）安培环路定理∮lH·dl=Ic，说明磁场是非保守场、有旋场.这些适用于特殊情况下的静电场和稳恒磁场的规律不能直接用来描述电磁场，那么统一的电磁场用怎样的规律来描述呢？麦克斯韦认为，空间任一点的电场都是由静止电荷和变化磁场共同激发的.因此，空间任一点的场强E应为静止电荷在该点产生的场强E1和变化磁场在该点产生的场强E2的矢量和，即E=E1+E2

同理可得D=D1+D2式中，D为空间任一点的电位移矢量；D1、D2分别为静止电荷和变化磁场在该点产生的电位移矢量.用推广后的电位移概念计算D的通量，即由于变化磁场所产生的电场为涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献，即有因而

（10-25）式（10-25）就是推广后的电场高斯定理.由式(10-24）~式(10-28)四个积分方程构成联立方程组，即有上式称为麦克斯韦方程组的积分形式.方程①称为电场的高斯定理.它反映了电场与电荷的联系，说明电荷激发电场，这种电场的电场线是有头有尾的.式中的D是静电场与感生电场叠加合成的总电场的电位移矢量.由于感生电场是涡旋场，它的电场线和电位移线都是闭合的，因此，通过任一闭合曲面S的电位移通量为零.方程②是磁场的高斯定理.它反映了目前的电磁场理论认为自然界中不存在独立的磁荷(磁单极)这一事实，说明磁感线总是闭合的.方程③实质上就是法拉第电磁感应定律.式中的E是静电场和感生电场叠加合成的总电场的场强，该式反映了变化的磁场能激发涡旋电场.方程④是全电流的安培环路定理.它反映了变化的电场和传导电流与磁场的联系，说明传导电流和变化的电场都能激发相同性质的磁场.在麦克斯韦方程组中，一般来说，描述电场和磁场的物理量D、E、B、H，既是空间位置坐标的函数，又是时间的函数.在特殊情况下，若它们不随时间变化，则麦克斯韦方程的式①、式②就是静电场的基本方程，式③、式④就是稳恒磁场的基本方程.麦克斯韦预言了电磁场在空间的运动和传播将产生电磁波.麦克斯韦理论经受了实践的检验，被公认为自牛顿力学到爱因斯坦提出相对论这段时期内，物理学发展中最重要的理论成果.1887年，年仅30岁的赫兹用实验证实了电磁波的存在.赫兹公布实验结果后，轰动了全球的科学界.由法拉第发现、麦克斯韦创立的电磁理论，至此才取得决定性的胜利.赫兹通过实验确认了电磁波是横波，具有与光类似的特性，如反射、折射、衍射等.他还实现了两列电磁波的干涉，同时证实了在直线传播时，电磁波的传播速度与光速相同，从而全面验证了麦克斯韦电磁理论的正确性.此外，他还进一步完善了麦克斯韦方程组，使它更加优美、对称，得出了麦克斯韦方程组的现代形式.在赫兹发现电磁波后不到六年，意大利的马可尼和俄国的波波夫分别实现了无线电传播，并很快投入实际使用.其他利用电磁波的技术也像雨后春笋般相继问世.无线电报(1894年)、无线电广播(1906年)、无线电导航(1911年)、无线电话(1916年)、短波通信(1921年)、无线电传真(1923年)、电视(1929年)、微波通信(1933年)、雷达(1935年)，以及遥控、遥感、卫星通信、射电天文学……它们使整个世界的面貌发生了深刻变化.随后的许多实验不仅证明了光波是电磁波，并都具有电磁波的共同特性.但它们的波长(或频率)范围有很大差别，所以可将它们的波长(或频率)按照一定的顺序排列成谱，称为电磁波谱，如图10-28所示.图10-28电磁