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文档简介

幂级数一、函数项级数定义5如果给定一个定义在区间I上的函数序列u1(x),u2(x),…，un(x),…，那么由此函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数.对于每一个确定的值x0∈I，函数项级数∑∞n=1u

n(x)成为常数项级数，即如果级数(x0)收敛，那么称点x0是函数项级数(x)的收敛点.所有收敛点的全体称为它的收敛域；如果级数(x0)发散，那么称点x0是函数项级数(x)的发散点,所有发散点的全体称为它的发散域.一、函数项级数对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数都成为一个收敛的常数项级数，因而有一个确定的和s.这样，在收敛域上，函数项级数的和s可以看成是x的函数s(x)，称此函数为函数项级数的和函数，这个和函数的定义域就是级数(x)的收敛域，并写成s(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…函数项级数的前n项和，称为函数项级数的部分和，记作sn(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)

则在收敛域上有limn→∞sn(x)=s(x),且称rn(x)=s(x)-sn(x)

为函数项级数的余项，于是有limn→∞rn(x)=0.二、幂级数的定义【例27】二、幂级数的定义定理9二、幂级数的定义给出的幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)又有发散点.如果从原点沿着数轴向右走，最初只遇到收敛点，然后只遇到发散点，这两部分的分界点可能是收敛点也可能是发散点.从原点沿着数轴向左方走情形也是如此.由定理9可以证明左右分界点到原点的距离是一样的，如图11-1所示.在图11-1中，R(R>0)是分界点.图11-1二、幂级数的定义推论如果幂级数

不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当|x|<R时,幂级数绝对收敛;当|x|>R时,幂级数发散;当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散

正数R通常称为幂级数的收敛半径，(-R，R)称为幂级数的收敛区间再由幂级数在x=R与x=-R处的收敛性就可以决定它的收敛域是(-R，R)，［-R，R)，(-R，R］，［-R，R］这四个区间之一.二、幂级数的定义规定：(1)幂级数只在x=0处收敛,R=0，收敛区间x=0;(2)幂级数对一切x都收敛,R=＋∞，收敛区间为(-∞，＋∞)

如何求幂级数的收敛半径?我们有下面定理：二、幂级数的定义定理10二、幂级数的定义二、幂级数的定义二、幂级数的定义【例28】二、幂级数的定义二、幂级数的定义【例29】三、幂级数的运算性质1三、幂级数的运算性质2

幂级数

的和函数s(x)在收敛区间(-R，R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续三、幂级数的运算性质3三、幂级数的运算性质4幂级数

的和函数s(x)在收敛区间(-R，R)内可导,并可逐项求导任意次.即逐项求导后所得到的

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