三重积分课件

三重积分一、三重积分的概念类比引入1.在定积分和二重积分的讨论中，我们曾讲过有共性的实例，即求非均匀物体的质量.如果物体的密度是该物体上点P的连续函数f(P)，那么物体的质量根据物体的不同几何形状，便有不同的积分概念.(1)物体是一个细的直线棒，则非均匀细棒的质量为

其中f(x)是线密度函数(点P即为点x)，直线棒占有区间为［a,b］，于是一、三重积分的概念(2)物体是一块平面薄片，则非均匀薄片的质量为其中f(x,y)是面密度函数［点P即为点(x,y)］，薄片占有区域为D(D为xOy面上的闭区域)，于是一、三重积分的概念(3)如果物体是一空间立体，它占有空间为Ω，又该如何计算它的质量呢？我们把空间立体Ω任意分成n个小立体Δvi(i=1,2,…,n)，且以Δvi表示第i个小立体的体积，在小立体Δvi上任取一点Pi(ξi,ηi,ζi)，显然小立体的质量近似等于

f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)

,

于是，立体Ω的总质量近似地等于和式一、三重积分的概念令λ为这些小立体的最大直径(直径定义如前描述)，我们自然会想到，当λ→0时，上面的和式就会趋于这个立体的总质量，也就是说，立体Ω的总质量为这种和式极限与定积分、二重积分的和式极限结构形式类似.它不仅在质量计算中，而且在物理、力学、工程计算中也经常会遇到，由此引出三重积分定义.一、三重积分的概念三重积分定义2.定义2设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数.将Ω任意分成n个小闭区域Δv1,Δv2,…,Δvn，其中Δvi表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi)，作乘积f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)，如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于0时，这个和式极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分，记作即(9-5)

其中dv称为体积微元.一、三重积分的概念在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么，除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域Δvi均为长方体.设长方体小闭区域的边长为Δxj,Δyk,Δzl，则Δvi=ΔxjΔykΔzl.因此，在直角坐标系中，有时也把体积微元dv记作dxdydz，而把三重积分记作Ωf(x,y,z)dxdydz，其中dxdydz称为直角坐标系中的体积微元.二、三重积分的计算由计算二重积分的方法推广知，计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次定积分来计算.下面将在不同坐标系下分别讨论三重积分化为三次定积分的计算方法，且只限于叙述计算方法，不作理论证明.二、三重积分的计算在直角坐标系下计算三重积分1.1）投影法设函数fx,y,z在空间闭区域Ω上连续，平行于z轴的任何直线与区域Ω的边界曲面S的交点不多于两个.闭区域Ω在xOy面上的投影为平面闭区域Dxy(见图9-27).以Dxy的边界为准线作母线平行于z轴的柱面.这柱面与曲面S的交线从S中分出的上、下两部分，它们的方程分别为S1:z=z1x,y,S2:z=z2x,y,

其中z1x,y,z2x,y在Dxy上连续,并且z1x,y≤z2x,y.图9-27二、三重积分的计算式(9-8)把三重积分化为先对z、次对x、最后对y的三次积分.二、三重积分的计算(1)类似地，如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S相交不多于两点，当把Ω投影到yOz面上或zOx面上时，也可写出相应的三次积分.(2)若平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法,将Ω分成若干个小区域来讨论.注二、三重积分的计算【例20】二、三重积分的计算【例21】计算三重积分Ωxdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解作闭区域Ω如图9-28所示.图9-28二、三重积分的计算二、三重积分的计算2）截面法计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法(或先二后一法).设空间闭区域

Ω=x,y,zx,y∈Dz,c1≤z≤c2,

其中D

z是竖坐标为z的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域(见图9-29)，则有(9-9)图9-29二、三重积分的计算【例21】二、三重积分的计算3）利用对称性计算在计算二重积分时，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可化简积分的计算，同理，对三重积分也有类似的结果.设f(x,y,z)在空间闭区域Ω内连续.(1)若f(－x,y,z)=－f(x,y,z)，且Ω关于yOz面对称或f(x,－y,z)=－f(x,y,z)，且Ω关于zOx面对称或f(x,y,－z)=－f(x,y,z)，且Ω关于xOy面对称,则二、三重积分的计算(2)若f(－x,y,z)=f(x,y,z)，Ω关于yOz面对称，则其中Ω1=x,y,zx,y,z∈Ω,x≥0.同理，对f(x,-y,z)=f(x,y,z),Ω关于zOx面对称或f(x,y,-z)=f(x,y,z),Ω关于xOy面对称也有类似的结论.二、三重积分的计算(3)若f(－x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,－y,z)=f(x,y,z)，Ω关于yOz,zOx面对称，则其中Ω1=x,y,zx,y,z∈Ω,x≥0,y≥0.同理，对f(-x,y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),Ω关于yOz,xOy面对称或f(x,-y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),Ω关于zOx,xOy面对称也有类似的结论.二、三重积分的计算(4)若f(－x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,－y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,－z)=f(x,y,z)，Ω关于yOz,zOx,xOy面对称，则其中Ω1=x,y,zx,y,z∈Ω,x≥0,y≥0,z≥0.(5)若x,y,z依次轮换(x→y→z→x)后，Ω不变，即Ω关于x,y,z轮换对称,则二、三重积分的计算【例24】解A的左边等于0，右边大于0，所以A不对；同理B,D不对;Ω1关于zOx面、yOz面对称，且f(x,y,z)=z关于x,y均为偶函数，又Ω2关于x,y,z轮换对称，所以C正确.二、三重积分的计算在柱面坐标系下计算三重积分2.设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为(ρ,θ)，则这样的三个数ρ,θ,z就称为点M的柱面坐标(见图9-31)，这里规定ρ,θ,z的变化范围为：0≤ρ<+∞,0≤θ≤2π,－∞<z<+∞.三组坐标面分别为ρ＝常数，即以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，即过z轴的半平面；

z＝常数，即与xOy面平行的平面.图9-31二、三重积分的计算显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

x=ρcosθy=ρsinθz=z.

(9-10)要把三重积分Ωf(x,y,z)dv中的变量变换为柱面坐标，用三组坐标面ρ＝常数，θ＝常数，z＝常数，把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体.现在考虑由ρ,θ,z各取得微小增量所成的柱体体积(见图9-32).这个体积等于高与底面积的乘积.其中高为dz，底面积在不计高阶无穷小时为ρdρdθ(即极坐标系中的面积微元)，于是得

dv=ρdρdθdz，二、三重积分的计算图9-32二、三重积分的计算这就是柱面坐标系中的体积微元.再由关系式(9-10)得其中F(ρ,θ,z)=f(ρcosθ,ρsinθ,z)，式(9-11)就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式.变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次定积分来进行.化为三次定积分时，积分限应根据ρ,θ,z在积分区域Ω中的变化范围来确定，下面通过实例来说明.(9-11)二、三重积分的计算【例25】二、三重积分的计算在球面坐标系下计算三重积分3.设M(x,y,z)为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定，其中r为原点O与点M之间的距离，φ为有向线段OM与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M在xOy面上的投影(见图9-34).这样的三个数r,φ,θ称为点M的球面坐标，这里r,φ,θ的变化范围是

0≤r<+∞,0≤φ≤π,0≤θ≤2π.图9-34二、三重积分的计算三组坐标面分别为：

r＝常数，即以原点为中心的球面；φ＝常数，即以原点为顶点，z为旋转轴的圆锥面；θ＝常数，即过z轴的半平面.设点M在xOy面上的投影为P，点P在x轴上的投影为A，则OA=x,AP=y，PM=z.又OP=rsinφ,z=rcosφ，因此，点M的直角坐标与球面坐标的关系为(9-12)二、三重积分的计算现在要把三重积分Ωf(x,y,z)dv中的变量从直角坐标变换为球面坐标.为此，用三组坐标面r＝常数，φ＝常数，θ＝常数，把Ω分成许多个小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是六面体.现在考虑由r,φ,θ各取得微小增量dr,dφ,dθ所成的六面体体积(见图9-35).在不计高阶无穷小时，这个六面体的体积可看做长方体的体积，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为rsinφdθ，向径方向的高为dr，于是得

dv=r2sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积微元.再由关系式(9-12)得(9-13)二、三重积分的计算图9-35二、三重积分的计算其中F(r,φ,θ)=f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ).式(9-13)就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式，对于变量变换为球面坐标后的三重积分的计算，同样可化为对r、对φ和对θ的三次定积分来进行.化为三次定积分时，积分限应根据r,φ,θ在积分区域Ω中的变化范围来确定.若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r=r(φ,θ)，则二、三重积分的计算这就是我们立体几何中球的体积计算公式.下面通过实例来说明：①在什么情况下利用球面坐标计算三重积分；②如何利用球面坐标来计算三重积分.二、三重积分的计算【例27】求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体(见图9-36)的体积.图9-36二、三重积分的计算二、三重积分的计算【例28】