曲 率教学课件

曲率曲率已知如果两个函数的单调性相同，它们所对应的凹凸性不一定相同.即使两个函数凹凸一致也不能判定它们所对应的函数相等，因为它们图形的弯曲程度不一定相同.在生产实践和工程技术中，常常需要研究曲线的弯曲程度.例如，设计铁路、髙速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度.所以，引出了曲率，用它来描述曲线的弯曲程度.

作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的概念.一、弧微分设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有连续导数，x0为a,b内一定点，x,x+Δx为a,b内两个邻近的点，M0,M,M′分别为曲线y=f(x)上与x0,x,x+Δx对应的点，如图4-17所示.在曲线y=f(x)上取定点M0作为度量弧长的起点，并规定依增大的方向作为弧的正向.图4-17一、弧微分以s表示这条曲线由点M0到点M的一段弧M0M的长度，即s=M0M(有向曲线弧M0M的值也常记为M0M).显然，弧长s是随点Mx,y的确定而确定的，也就是说s是x的函数，记为s=s(x),而且s(x)是x的单调增加函数.

下面用已知函数y=f(x)来表示弧长s的微分ds.

设对应于x的增量Δx，弧长s的增量为Δs，则Δs=MM′(见图4-17).因为弦MM′的长度MM′2=Δx2+Δy2,

一、弧微分一、弧微分上式称为弧s=s(x)关于x的弧微分公式.二、曲率的概念及其计算先从几何图形上分析哪些量与曲线弯曲程度有关.

如图4-18所示，弧段M1M2比较平直，当动点沿着这段弧从M1移动到M2时，切线转过的角度为φ1，而弧段M2M3弯曲得比较厉害，当动点沿着这段弧从M2移动到M3时，切线转过的角度为φ2.图4-18二、曲率的概念及其计算显然φ2>φ1.然而，从图4-19可以看出，两曲线弧M1M2及N1N2的切线转角相同，但弯曲程度明显不同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些.因此，曲线弧的弯曲程度与弧段的长度和切线转过的角度均有关.

图4-19二、曲率的概念及其计算由此，引入描述曲线弯曲程度的概念——曲率.

设M,M′是曲线y=f(x)上两点(见图4-20)，设曲线在点M和点M′处切线的倾斜角分别为α和α+Δα，当点从M沿曲线y=f(x)变到M′时，切线的转角为Δα，而改变这个角度所经过的路程则是弧长Δs=MM′.图4-20二、曲率的概念及其计算二、曲率的概念及其计算例如，直线的切线就是其本身，当点沿直线移动时，切线的

它表明直线上任一点的曲率都等于零.这与人们的直觉“直线不弯曲”是一致的.

又如，半径为R的圆，圆上点M，M′处的切线所夹的角Δα等于中心角∠MO′M′(见图4-21)，由于

所以图4-21二、曲率的概念及其计算这表明，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，且半径越小曲率越大，即弯曲得越厉害.

下面来推导实际计算曲率的公式.

二、曲率的概念及其计算在直角坐标系下，不能直接得到α与s之间的关系，但可以得到变量α，s与变量x的关系.二、曲率的概念及其计算【例49】二、曲率的概念及其计算【例50】三、曲率圆前面讲过，圆周函数的任意点的曲率都是相同的，并且等于圆周半径的倒数，这就启发人们对于一般的曲线，都可以定义它的任意一点的曲率的倒数为曲线在这点的曲率半径.

显然，这个定义是具有非常直观的意义的，因为根据前面曲率的一般计算公式，可以看到一般曲线在某点的曲率完全由曲线在该点的一阶导数和二阶导数决定，因此如果过曲线上任意一点作一个圆与曲线相切，圆的半径就是该点的曲率半径，那么曲线在该点的曲率只与该点处的一阶导数和二阶导数有关的性质，就完全可以通过研究通过该点的这个圆而得到，因为它们具有同样的凹凸性和曲率，以及共同的切线.称这个圆为曲线在该点的曲率圆，而这个圆的圆心则称为曲线在该点的曲率中心.

三、曲率圆根据曲率半径的定义，曲线上某点处的曲率半径ρ与曲线在该点处的曲率K互为倒数，即上述公式表明，曲线上某点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小，则曲线越平缓；曲率半径越小，曲率越大，则曲线在该点处弯曲得越厉害.三、曲率圆下面求曲率中心的坐标.

如图4-22所示，设曲线的方程为y=f(x)，其二阶导数y″在点x处不等于零，则曲线在点M(x,y)处的曲率中心O′(a,b)的坐标为图4-22三、曲率圆三、曲率圆当点M(x,y)沿着曲线C