幂级数教学课件

幂级数第四节幂级数前面我们讨论了常数项级数的敛散性，其级数的每一项都是实数.下面将讨论函数项级数，其级数的每一项都是函数.本节主要讨论一个最基本的函数项级数——幂级数.一、函数项级数定义如果给定一个定义在区间I上的函数序列u1(x),u2(x),…，un(x),…，那么由此函数列构成的表达式称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.对于每一个确定的值x0∈I，函数项级数成为常数项级数，即一、函数项级数如果级数

收敛，那么称点x0是函数项级数

的收敛点.所有收敛点的全体称为它的收敛域；如果级数

发散，那么称点x0是函数项级数

的发散点,所有发散点的全体称为它的发散域.对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数都成为一个收敛的常数项级数，因而有一个确定的和s.这样，在收敛域上，函数项级数的和s可以看成是x的函数s(x)，称此函数为函数项级数的和函数，这个和函数的定义域就是级数

的收敛域，并写成一、函数项级数

函数项级数的前n项和，称为函数项级数的部分和，记作则在收敛域上有,且称为函数项级数的余项，于是有二、幂级数

形如的级数称为x或（x-x0)的幂级数.其中常数称为幂级数的系数

例如都是幂级数.二、幂级数幂级数

，由本章第一节例1知，当|x|<1时，收敛;当|x|≥1时，发散因此，这幂级数的收敛域为(-1，1）;发散域为

由此可知，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.于是有如下定理：【例1】二、幂级数(阿贝尔Abel定理)如果幂级数处收敛,则它在满足不等式|x|<x0的一切x处绝对收敛;如果幂级数

处发散,则它在满足不等式|x|>x0的一切x处发散证（1）由

收敛，知

存在M，使得定理1二、幂级数因为当

时，等比级数

收敛，故

收敛，即级数

收敛因此级数

在一切x处绝对收敛.（2）假设当x=x0时发散，而有一点x1适合x1>x0使级数收敛,由(1)结论则级数当x=x0时应收敛,这与所假设条件矛盾，故如果级数

在x=x0处发散,则它在满足|x|>x0的一切x处发散二、幂级数给出的幂级数在数轴上既有收敛点（不仅是原点）又有发散点.如果从原点沿着数轴向右走，最初只遇到收敛点，然后只遇到发散点，这两部分的分界点可能是收敛点也可能是发散点.从原点沿着数轴向左方走情形也是如此.由定理1可以证明左右分界点到原点的距离是一样的，如图11-1所示.在图11-1中，R（R>0）是分界点.图11-1二、幂级数推论如果幂级数

不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当|x|<R时,幂级数绝对收敛;当|x|>R时,幂级数发散;当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散正数R通常称为幂级数的收敛半径，（-R，R）称为幂级数的收敛区间再由幂级数在x=R与x=-R处的收敛性就可以决定它的收敛域是（-R，R），［-R，R），（-R，R］，［-R，R］这四个区间之一.二、幂级数

证对级数

应用达朗贝尔判别法.（1）如果

存在，由比值审敛法知：当|x|<1ρ时，级数

收敛，从而级数

绝对收敛当

时，级数

发散，并且从某个n开始，

，从而级数发散，收敛半径

二、幂级数(1)幂级数只在x=0处收敛,R=0，收敛区间x=0;(2)幂级数对一切x都收敛,R=＋∞，收敛区间为（-∞，＋∞）如何求幂级数的收敛半径?我们有下面定理：规定二、幂级数如果幂级数

的所有系数an≠0,设则有：(1)当ρ≠0时,

(2)当ρ=0时,R=＋∞;(3)当ρ=＋∞时,R=0定理2二、幂级数（2）如果ρ=0，任意x≠0，有级数

收敛，从而级数

绝对收敛,收敛半径R=＋∞.（3）如果ρ=＋∞，任意x≠0，级数

必发散（否则由定理1知将有点x≠0可使

收敛），收敛半径R=0二、幂级数求下列幂级数的收敛半径及收敛域.【例2】二、幂级数

解则R=1当x=1时，级数为

，该级数收敛；当x=-1时，级数为

，该级数发散.故收敛域是（-1，1］则R=0，级数只在x=0处收敛.则R=＋∞，故收敛域是（-∞，＋∞）二、幂级数则

，即

收敛，故x∈（0，1）收敛.当x=0时，级数为

，发散；当x=1时，级数为收敛.故收敛域为(0,1］二、幂级数求幂级数

的收敛域

解因为级数缺少偶次幂的项，应用达朗贝尔判别法，【例3】二、幂级数当

，即

时，级数收敛;当

，即

时，级数发散;当x=2时，级数为

，级数发散;当x=-2时，级数为

，级数发散.故原级数的收敛域为二、幂级数思考如果幂级数

在点x=4处收敛，那么它在点x=1处也收敛吗？反之呢？二、幂级数性质1设幂级数

均收敛，且收敛半径分别为R1和R2,其中R1>0,R2>0,则两个级数对应项相加（或相减）得到的新的幂级数其收敛半径为R=min{R1,R2}.二、幂级数性质2幂级数

的和函数s（x）在收敛区间（-R，R）内连续,

在端点收敛,则在端点单侧连续二、幂级数性质3幂级数

的和函数s（x）在收敛区间（-R，R）内可积,且对任意x∈（-R，R）可逐项积分即逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.二、幂级数性质4幂级数

的和函数s（x）在收敛区间（-R，R）内可导,并可逐项求导任意次.即逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.二、幂级数求幂级数

的和函数

解先求收敛域.由得收敛半径R=1.因为【例4】二、幂级数

显然两边积分，得即故二、幂级数又x=1时，收敛于是得二、幂级数求幂级数

的和

解先求收敛域.由得收敛半径R=1.注意到所求级数可由级数【例5】二、幂级数逐项求导而得到，在区间（-1，1）内所以当|x|<1时，有