洛必达法则课件

洛必达法则第二节、洛必达法则如果当x→x0(或x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大,则极限limx→x0f(x)g(x)(或limx→∞f(x)g(x))可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式.当f(x)及g(x)都趋于零时，称为00型未定式；当f(x)及g(x)都趋于无穷大时，称为∞∞型未定式.例如，等就是未定式.第二节、洛必达法则在第一章中，曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的极限.计算未定式往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限进行计算的形式.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算这类极限的一般方法，即洛必达法则.一、洛必达法则0/0型与∞/∞型未定式1.定理1

设(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都趋于无穷大）.(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.(3)存在或为无穷大.则

证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当x→x0时的∞/∞型未定式的情形，有兴趣的读者可自己证明.因为极限是否存在与f(x0)和g(x0)取何值无关，故可补充定义f(x0)=g(x0)=0.于是，由条件（1）和（2）可知，函数f(x)及g(x)在点x0的某一邻域内是连续的.设x是该邻域内任意一点(x≠x0)，则f(x)及g(x)在以x及x0为端点的区间上，满足柯西中值定理的条件，从而存在ξ(ξ介于x与x0之间)，使得一、洛必达法则

当x→x0时，有ξ→x0，所以上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.一、洛必达法则如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即注意一、洛必达法则【例1】一、洛必达法则上式中的已不再是未定式,故不能再对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定式.注意一、洛必达法则【例2】【例3】一、洛必达法则【例4】在利用洛必达法则求极限的过程中,也可以结合其他求极限的方法,如上例中就用到了等价无穷小tanx~x,1－cosx~1/2x2,这样做可以使运算更简便.注意一、洛必达法则解因为【例5】一、洛必达法则

以上讨论了当x→x0时0/0型和∞/∞型未定式的情形.下面的定理则给出了当x→∞时0/0型和∞/∞型未定式的洛必达法则.一、洛必达法则定理1

设

（1）当x→∞时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都趋于无穷大).

（2）对充分大的x，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.

（3）

存在或为无穷大.则一、洛必达法则【例6】一、洛必达法则

解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛必达法则得

当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得

综上所述,对任意α>0,都有【例7】一、洛必达法则二、其他类型的未定式除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞型未定式后，再应用洛必达法则来计算.（1）对于0·∞型，可将乘积化为除的形式，即化为0/0或∞/∞型的未定式来计算.（2）对于∞－∞型，可利用通分化为0/0型未定式来计算.（3）对00,1∞,