极 限教学课件

极限一、数列的极限

函数给出了变量之间的对应关系，但研究变量的变化仅靠对应关系是不够的，还需要通过变量的变化趋势来研究，这便是极限的概念．极限的概念是由求实际问题的精确解答而产生的．我国古代数学家刘徽于公元263年创立了“割圆术”,它就是借助于圆的一串内接正多边形的面积去逼近圆的面积,这就是极限思想最早在几何上的应用．同时这也使得我们认识到极限方法是在解决实际问题中逐渐形成的．为了研究一般函数的极限,下面先讨论一种特殊函数的极限——数列的极限．数列1.1）数列的概念一、数列的极限

定义1设yn=f（n）是定义在正整数集上的一个函数,当自变量n依次取1,2,3，…时,其相应的函数值所排成的一列数y1，y2，y3，…，yn，…称为一个无穷数列,简称数列,记作{yn}或{f（n）}.其中数列中的每一个数都称为数列的项,数列{yn}的第n项yn称为数列的一般项或通项.定义1

2）有界数列

对数列{yn}，如果存在两个实数m，M，使得m≤yn≤M（n=1，2，…）那么称{yn}为有界数列，其中m，M分别称为数列{yn}的下界与上界．否则，称{yn}为无界数列．对于数列的有界概念，还有如下的等价定义，即：如果存在M>0，使得{yn|≤M（n=1，2，…)，那么称{yn}为有界数列，M称为数列{yn}的界．定义2

一、数列的极限3）单调数列

设数列{yn}，如果yn≤yn＋1（n=1，2，…），那么称数列{yn}为单调增加数列．反之，如果yn≥yn＋1（n=1，2，…），那么称数列{yn}为单调减少数列．单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列．如数列1/n是单调减少数列，数列n/n＋1是单调增加数列，数列{（-2）n}不是单调数列．定义3

一、数列的极限4）母子列

从数列{yn}中任意选出部分项（无穷项），保持原来的次序，从左往右排列为yn1，yn2，…，ynk，…称此数列为{yn}的子数列（简称子列），记为{ynk}.其中k(k=1，2，…)表示ynk在子列中的第k项，nk表示在原来数列{yn}中的第nk项．一、数列的极限思考思考：五个数1,1/3,1/9，1/27，1/81能构成一个数列吗？n个数1,1/3,1/9,…，1/3n-1呢？为什么？数列极限的定义2.一、数列的极限

观察上面六个数列的变化趋势或性态,就不难发现:当自变量n无限增大时,有的数列的通项yn无限接近于(或趋于)某个常数A．例如，数列{1/n}当自变量n无限增大时,1/n趋于0；数列{n/(n＋1)}和{n＋（-1）n-1/n}当自变量n无限增大时,n/n＋1和n＋（-1）n-1/n都无限接近于1．将数列的上述变化趋势用数学的语言表示，就得到数列极限的定义．一、数列的极限

对于数列{yn},如果当自变量n无限增大时,yn趋于某个确定的常数A,那么A叫作数列{yn}的极限,记作

此时,也称数列{yn}收敛于A.如果数列{yn}的极限不存在,就说数列{yn}是发散的.定义4

一、数列的极限一、数列的极限

观察下列数列的极限:(1)yn=1＋1/n；(2)yn=(1/3)n-1；(3)yn=3.【例1】一、数列的极限数列极限的性质和运算3.1）数列极限的性质

性质1(极限的唯一性)如果数列{yn}有极限(或收敛),那么它的极限是唯一的.

性质2（收敛数列的有界性）如果数列{yn}有极限，那么数列{yn}一定有界．性质3（收敛数列的保号性）如果给定数列{yn}，且limn→∞yn=a，a>0（或a<0），那么从某一项起，都有yn>0（或yn<0）．一、数列的极限一、数列的极限一、数列的极限一、数列的极限一、数列的极限一、数列的极限二、函数的极限

数列是定义在正整数集上的函数,它的自变量n具有“离散变量”(只能取正整数)和趋于正无穷大一种变化状态的两个特点.而对于定义在区间上的函数,它的自变量x是“连续变量”(即x能取得定义区间中的任何值),并且x有多种变化状态.因此,在学习函数极限时,只要注意到这些不同点,就很容易理解函数极限的概念、理论和方法．函数极限的概念1.

把数列极限概念中的函数为f（n）而自变量的变化过程为n→∞等特殊性撇开,可以引入函数极限的概念．在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数值,那么这个确定的数值就叫作在这一变化过程中函数的极限．由于自变量的变化不同,函数的极限就表现为不同的形式．二、函数的极限下面介绍自变量x变化过程的两种不同情形时函数f（x）的极限．1）自变量趋于有限值时函数的极限现在考虑自变量x无限接近于有限值x0或说趋于有限值x0时，对应的函数值f（x）的变化情形．有如下定义.二、函数的极限

设函数f（x）在点x0的去心邻域内有定义，如果在x→x0的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么称A是函数f（x）当x→x0时的极限，记作从定义5中可以看出,函数f（x）在点x0处是否存在极限与f（x）在点x0处是否有定义无关．定义5

二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限2.

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义，如果在x→∞的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么A叫作函数f（x）当x→∞时的极限．记作如果把x取正值且无限增大，称为x趋于正无穷大，记作x→＋∞，而把x取负值且|x|无限增大，称为x趋于负无穷大，记作x→-∞．这样，函数f（x）在这两种极限过程下的极限，分别记作定义6

二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限思考

求函数在一点的极限时，什么情况下要分左右极限考虑？什么情况下不用分左右极限考虑？为什么？二、函数的极限函数极限的性质3.

性质7(函数极限的唯一性)如果limx→x0f（x）存在,那么它的极限是唯一的.性质8（局部有界性）如果limx→x0f（x）存在，则函数f（x）在x0的某一去心邻域内有界．

性质9（局部保号性）如果给定函数f（x），limx→x0f（x）=A且A>0（或A<0），那么在x0的某一去心邻域内，有f（x）>0（或f（x）<0）．二、函数的极限

性质10（夹逼准则)如果函数g（x），f（x），h（x）在点x0的某个去心邻域内，满足下列条件:(1)g（x）≤f（x）≤h（x）;(2)limx