函数的求导法则

函数的求导法则函数的求导法则导数的定义给出了一种求导数的一般方法，但是按定义求导数有时会相当麻烦.从本节开始我们将介绍求导的几个基本法则和基本初等函数的导数公式，借助于这些法则和公式，就能较方便地求出常见的函数的导数.一、函数的和、差、积、商的求导法则定理2如果u(x)和v(x)在x处可导，函数的和、差u(x)±v(x)在x处也是可导的，并且有

［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).

证令y=u(x)±v(x)，当x有增量Δx时，u有增量Δu，v有增量Δv，从而y有增量Δy，且有

一、函数的和、差、积、商的求导法则即［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)

.

上述法则可推广到有限个可导函数的情况，有限个函数的和、差的导数等于它们导数的和、差，即［u(x)±v(x)±…±w(x)］′=u′(x)±v′(x)±…±w′(x).

一、函数的和、差、积、商的求导法则定理3如果u(x)和v(x)在x处可导，函数的积u(x)·v(x)在x处也是可导的，并且有一、函数的和、差、积、商的求导法则即［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)，特别地，［Cu(x)］′=Cu′(x)

(C为任意常数).

上述法则可推广到有限个函数乘积的导数的情形，即［u(x)·v(x)·…·w(x)］′=u′(x)v(x)…w(x)+u(x)v′(x)…w(x)+…+u(x)v(x)…w′(x).

一、函数的和、差、积、商的求导法则定理4一、函数的和、差、积、商的求导法则设y=3x2+2x+7，求y′.

解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.【例14】【例15】一、函数的和、差、积、商的求导法则求下列函数的导数.(1)y=xsinx；(2)y=ax(2sinx－3cosx)；(3)y=x4•ex•lnx.

解(1)y′=(xsin

x)′=(x)′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx；

(2)y′=axlna(2sinx－3cosx)+ax(2cos

x+3sinx)；

(3)y′=4x3exlnx+x4exlnx+x3ex=x3ex(4lnx+xln

x+1).【例16】二、反函数的求导法则定理5如果x=φ(y)在某区间上单调可导，且φ′(y)≠0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间上也可导，且有

证因x=φ(y)单调可导，故它的反函数单调连续，下面证明它的可导性.

当x有增量Δx≠0时，由单调性可知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0，因而有二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则【例18】求指数函数y=ax(a>0,a≠1)的导数.二、反函数的求导法则【例19】求y=arcsinx的导数.二、反函数的求导法则【例20】求y=arctanx的导数.三、复合函数的求导法则定理6如果u=φ(x)在点x处可导，而y=f(u)在点u=φ(x)处可导，那么复合函数y=f［φ(x)］在点x处可导，并且其导数为

或写成y′x=y′u·u′x.

证当x有增量Δx时，u有增量Δu，从而y有增量Δy.当Δu≠0时，有三、复合函数的求导法则由已知条件可得所以

即y′x=y′u·u′x

.

上述证明假定了当|Δx|足够小时，Δu≠0，如果该事实不成立，我们仍能证明该法则成立，证明过程请读者思考.三、复合函数的求导法则注这个公式说明复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.该法则也称为链式法则，它可以推广到多个中间变量的情形.假设有函数y=f{φ［ψ(x)］}，它是由y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)复合而成的复合函数，那么复合函数y=f{φ［ψ(x)］}的导数为三、复合函数的求导法则【例22】求下列函数的导数.(1)y=sin2x；(2)y=(1+2x)5

；(3)y=tan(sinx)；(4)y=ln(x+1+x2).解(1)由y=sinu,u=2x,得y′=y′u•u′x=cosu•(2x)′=2cos2x.(2)由y=u5,u=1+2x，得

y′=y′u•u′x=(u5)′(1+2x)′=5u4×2=10u4=10(1+2x)4.(3)在熟练掌握复合函数的求导法则后，中间变量可以不必写出(默记在心里按法则逐步进行)，于是有

y′=［tan(sinx)］′=sec2(sinx)•(sinx)′=sec2(sinx)•cosx=cosx•sec2(sinx).三、复合函数的求导法则注对于初学者来说，求复合函数的导数是一个难点.但若能够熟悉复合函数的复合过程，并牢记“由外向里，逐层求导”的八字原则，则复合函数的求导就会变得简便易行.所谓“由外向里”，就是按照复合的层次，从最外面开始，依次向里；“逐层求导”就是一层一层地求下去，直到自变量为止.最后，把各层求的导数的结果乘起来即可.三、复合函数的求导法则【例23】y=cosln(1+2x)，求y′.解该复合函数从最外层看是余弦函数，向里依次是对数函数、简单函数1+2x.按照上面的八字原则，需要分别对余弦函数、对数函数及函数1+2x求导，然后乘积即得三、复合函数的求导法则【例24】求函数y=sin22x的导数.解该函数是由幂函数、正弦函数、简单函数2x复合而成的复合函数.由复合函数的求导法则得

y′=2sin2x•cos2x•2=2sin4x.三、复合函数的求导法则【例25】【例26】已知y=f(x2)sinf(x),f为可导函数，求y′.解y′=［f(x2)］′sinf(x)+f(x2)［sinf(x)］′=2xf′(x2)sinf(x)+f(x2)f′(x)cosf(x).三、复合函数的求导法则关于求导记号的几点说明：(1)对于复合函数y=f［φ(x)］，如果不设中间变量，y′表明y对自变量x求导；如果设有中