四川省成都市高中数学121任意角的三角函数1课件新人教版A版必修4

角度

弧度

复习回顾：1.2.1任意角的三角函数（1）

角的范围已经推广，那么对任一角α是否也能像锐角一样定义三角函数呢？

初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角α为自变量，以比值为函数值，定义了角α的正弦、余弦、正切的三角函数.

本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

1.任意角的三角函数的定义

设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上任意一点P(a,b)(除开顶点O),它与原点(即顶点)的距离是r(r>0),那么根据初中所学过的三角函数的定义，有Oxyr(1)正弦:sinα=;(2)余弦:cosα=;(3)正切:tanα=.αP(a,b)ba

由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位置改变而改变，所以通常取r=1的位置。P(a,b)0xyMαA(1,0)1

设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上的点P(a,b)与原点(即顶点)的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数的定义，有(1)正弦:sinα==b;(2)余弦:cosα==a;(3)正切:tanα=.

我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.1.任意角的三角函数的定义

同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.1、任意角的三角函数的定义

设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么(1)正弦:sinα=y;(2)余弦:cosα=x;(3)正切:tanα=(x≠0).P(x,y)0xyαA(1,0)

正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。三角函数sinαcosαtanα定义域

角的概念推广后，实际上是把角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：解：（1）在直角坐标系中，作（如图），

得的终边与单位圆的交点坐标为例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：解：（2）∵当时，

在直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点坐标为（3）∵当时，

在直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点坐标为不存在.xyO特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα

例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.P0(-3,-4)0xyM0P(x,y)M如图，设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，解：分别过点P、P0作x轴的垂线MP，M0P0，

则∽

且一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原点(顶点)的距离为r>0，则sinα=;cosα=;tanα=.三角函数的坐标定义：(见教材13页)

例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.解法2：点P0(-3,-4),到原点的距离为故由三角函数的坐标定义知：.P0(-3,-4)0xyM0例3.

若角的终边落在直线y=2x上，求α的三角函数值.解：①若角的终边在第一象限，xyO可在其终边上取一点P(1,2)，P则由三角函数坐标定义得：例3.

若角的终边落在直线y=2x上，求α的三角函数值.解：②若角的终边在第三象限，xyO可在其终边上取一点P(-1,-2)，P则由三角函数坐标定义得：2、三角函数值的符号均为正sinαtanαx0ycosα完成P13探究内容口诀：“一全、二正、三切、四余”

(1)正弦:sinα=y;(2)余弦:cosα=x;(3)正切:tanα=(x≠0).思考：若成立时，角θ为第几象限角？解：由知θ的终边