2012届第一轮复习一元二次不等式

一元二次不等式

2012届•第一轮复习韶关市第五中学

数学科组刘海波考纲解读一元二次不等式的解法(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.考向预测

从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形式考查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函数零点的分布以小题形式考查相应一元二次方程中未知参数的取值范围，或以解答题形式出现单独考查含参数的一元二次不等式的解法，也可能与函数相结合考查参数的取值范围等.知识小结1.一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0).(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与

确定一元二次不等式的解集.x轴的交点知识小结2.一元二次不等式的解集判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x2x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}R考点突破解下列不等式：（1）①

-x2+2x->0；

②8x-1≤16x2.（2）解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.考点1一元二次不等式解法【分析】(1)题可直接按一元二次不等式的步骤进行求解.（2）题可先分解因式，求出对应方程的根，然后对根的大小进行讨论，从而得不等式的解.【解析】（1）①两边都乘以-3，得3x2-6x+2<0,∵3>0,且方程3x2-6x+2=0的解是

x1=1-,x2=1+,∴不等式的解集是[x|1-<x<1+].②8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0,∴x∈R,∴不等式的解集为R.(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,当a=0时,不等式的解为x>1,当a≠0时，不等式变为a(x-)(x-1)<0,若a<0,则(x-)(x-1)>0,∴x<

或x>1.若a>0,则(x-)(x-1)<0,∴当a>1时,解为<x<1;当a=1时,解集为;当0<a<1时,解为1<x<

.综上,当a＜0时,不等式的解集为{x|x＜或x＞1};当a=0时,不等式的解集为{x|x＞1};当0＜a＜1时,不等式的解集为{x|1＜x＜};当a=1时，不等式的解集为;当a＞1时，不等式的解集为{x︱

＜x＜1}.

解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论.对应训练解下列不等式：（1）2x2+4x+3>0;（2）-3x2-2x+8≥0;（3）12x2-ax>a2(a∈R).【解析】

(1)∵Δ=42-4×2×3<0,∴方程2x2+4x+3=0没有实根，二次函数y=2x2+4x+3的图象开口向上，与x轴没有交点，2x2+4x+3>0恒成立，∴不等式2x2+4x+3>0的解集为R.（2）原不等式可化为3x2+2x-8≤0,∵Δ=100>0,∴方程3x2+2x-8=0的两根为-2,,结合二次函数y=3x2+2x-8的图象可知原不等式的解集为｛x|-2≤x≤｝.(3)由12x2-ax-a2>0(4x+a)(3x-a)>0,①a>0时，-<,解集为｛x|x<-或x>｝;②a=0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0};③a<0时，->,解集为｛x|x<或x>-｝.考点突破已知f(x)=x2-2ax+2，当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.【分析】可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论.考点2含参数的一元二次不等式恒成立问题【解析】解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2，此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在[-1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3,

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,

即2a+3≥a,解得a≥-3,

又a<-1,∴-3≤a<-1;②当a∈[-1,+∞)时，f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立，

Δ>0a<-1f(-1)≥0,解得-3≤a≤1.即Δ=4a2-4（2-a）≤0

或

解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解.对应训练当a为何值时，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数.【解析】①当a2-1=0,即a=±1时,若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不符合题目要求,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是

a2-1<0Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0.解之得-<a<1.综上所述,当-<a≤1时,原不等式的解集为全体实数.考点突破考点3一元二次不等式的实际应用

某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)设x与y满足y=kx(0<k<1),利用k表示当每月售货总金额最大时x的值;(3)若y=

x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.【分析】用所给出的已知量表示出定价、卖出数量、售货总金额，列出关系式，正确地将不等关系转化成不等式问题来求解.【解析】

(1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为p(1+)元,每月卖出数量为n(1-)件,每月售货总金额是npz元,因而npz=p(1+)·n(1-),所以z=

.(2)在y=kx的条件下,z=

,整理可得由于0<k<1,所以

>0,所以使z值最大的x值是x=

.(3)当y=x时,z=,要使每月售货总金额有所增加,即z>1,应有,即x(x-5)<0,所以0<x<5,所以所求x的范围是(0,5).(1)实际应用问题是新课标下考查的重点,突出了应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现,如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要理清题意,准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解.(2)不等式应用题一般可按如下四步进行:①阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.②引进数学符号,用不等式表示不等关系.③解不等式.④回归实际问题.对应训练某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速xkm/h有如下关系:s=，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01km/h)

【解析】设这辆汽车刹车前的车速为xkm/h,根据题意，有

>39.5,移项整理，得x2+9x-7110>0,显然Δ>0，方程x2+9x-7110=0有两个实数根，即x1=-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集为{x|x<-88.94或x>79.94}.在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的速度至少为79.94km/h.考点突破已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1),B(t2,y2)两点，且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.（1）证明：y1=-a或y2=-a;（2）证明：函数f(x)的图象必与x轴有两个交点；（3）若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或x<n,n<m<0}，解关于x的不等式cx2-bx+a>0.考点4三个“二次”的关系问题【分析】三个“二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）把初中数学与高中数学紧密地联系在一起，因而也是高考命题的热点，解决三个“二次”问题的关键在于数形结合思想的运算，也就是要利用图象来分析、解决问题.(1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,

∴(a+y1)(a+y2)=0，

得y1=-a或y2=-a.(2)当a>0时,二次函数f(x)的图象开口向上,图象上的点A,B的纵坐标至少有一个为-a且小于零,∴图象与x轴有两个交点.

当a<0时,二次函数f(x)的图象开口向下,图象上的点A,B的纵坐标至少有一个为-a且大于零,∴图象与x轴有两个交点.故二次函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点.(3)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n,n<m<0},从而方程cx2+bx+a=0有两个根为x1=,x2=,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x1=,x2=.∵n<m<0,∴<.故不等式cx2-bx+a>0的解集为｛x|x>或x<｝.

(1)解一元二次不等式应熟记它的解的结构,即当Δ>0,a>0时,ax2+bx+c>0→x>x2或x<x1(x2>x1)(即大于大根或小于小根);ax2+bx+c<0→x1<x<x2(即夹在两根之间).

(2)解不等式的逆向问题是我们的薄弱点,是命题的亮点,是高考注重逆向思维考查的落脚点,因此我们应熟练掌握由一元二次不等式解的结构逆向推出不等式满足的条件的方法.对应训练已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3).（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.(1)因为f(x)+2x＞0的解集为(1,3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0